미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t + 1}{y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t + 1}{y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t + 1}{y}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t + 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = (3 t + 1) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int 3 t + 1 d t$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t + 1 d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t d t + \int d t$

단계 2.3.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t d t + \int d t$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 t^{2}}{2} + t + C_{4}$

단계 2.3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} t^{2} + t + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{3}{2} t^{2} + t + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{3}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{3 t^{2}}{2} + t + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 3 t^{2} + 2 t + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

단계 3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

단계 3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

단계 3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + K}$