미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 4$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 4 d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{4 x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{4 x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{4 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $e^{4 x}$ 을 곱합니다.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

단계 2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

단계 2.4

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

단계 6.2

$u = x$ 이고 $d v = e^{4 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

단계 6.3.2

$x$ 와 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

단계 6.3.3

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

단계 6.4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

단계 6.5

먼저 $u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$u = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 6.5.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 6.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 6.5.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 6.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

단계 6.6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

단계 6.7

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

단계 6.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

단계 6.8.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

단계 6.9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

단계 6.10

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ 을 $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

단계 6.11

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

단계 6.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.12.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

단계 6.12.1.2

$\frac{x}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

단계 6.12.1.3

$e^{4 x}$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

단계 6.12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

단계 6.12.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.12.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

단계 6.12.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

단계 6.12.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

단계 6.12.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.12.4.1

$- \frac{e^{4 x}}{16}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

단계 6.12.4.2

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

단계 6.12.4.3

공약수로 약분합니다.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

단계 6.12.4.4

수식을 다시 씁니다.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

단계 6.12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

단계 6.13

항을 다시 정렬합니다.

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

단계 7

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ 의 각 항을 $e^{4 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ 의 각 항을 $e^{4 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{4 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$e^{4 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.1.1.2

$\frac{1}{2} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.1.2

$e^{4 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.1.2.2

$- \frac{1}{8}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.2

$\frac{1}{2} x$ 에서 $\frac{1}{8}$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.2.3

$x \frac{1}{2}$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4 x - 1}{8}$ 을 표현하기 위해 $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

단계 7.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{C}{e^{4 x}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

단계 7.3.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8 e^{4 x}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.6.1

$\frac{4 x - 1}{8}$ 에 $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

단계 7.3.6.2

$\frac{C}{e^{4 x}}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

단계 7.3.6.3

$e^{4 x} \cdot 8$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

단계 7.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

단계 7.3.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

단계 7.3.8.2

$- 1 e^{4 x}$ 을 $- e^{4 x}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

단계 7.3.8.3

$C$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$