미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{11 \sqrt{x}}$ , $y (16) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{1}{11 \sqrt{x}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{1}{11 \sqrt{x}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{11 \sqrt{x}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{11}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{11}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{11} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

단계 2.3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{11} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 2.3.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{11} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 2.3.2.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{11} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 2.3.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{11} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 2.3.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{11} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{11} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$\frac{1}{11} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{11} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{11} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.4.2

$\frac{1}{11}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{2}{11} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{2}{11} x^{\frac{1}{2}} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{2}{11} x^{\frac{1}{2}} + K$ 에서 $x$ 에 $16$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = \frac{2}{11} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{11} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{11} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{11} \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

단계 4.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{11} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

단계 4.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{11} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

단계 4.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{11} \cdot 4^{1} + K = 0$

단계 4.2.4

지수값을 계산합니다.

$\frac{2}{11} \cdot 4 + K = 0$

단계 4.2.5

$\frac{2}{11} \cdot 4$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.5.1

$\frac{2}{11}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 4}{11} + K = 0$

단계 4.2.5.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{11} + K = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $\frac{8}{11}$ 를 뺍니다.

$K = - \frac{8}{11}$

단계 5

$y = \frac{2}{11} x^{\frac{1}{2}} + K$ 의 $K$ 에 $- \frac{8}{11}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- \frac{8}{11}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{2}{11} x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{11}$

단계 5.2

$\frac{2}{11}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{11} - \frac{8}{11}$