미적분 예제

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

단계 1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2} + 2 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

단계 1.3

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

단계 1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

단계 1.5

$2 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

단계 1.6

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

단계 1.6.2

$2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

단계 2

$N (x, y) = 2 y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 2.2

$2 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$2 y = 0$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 y = 0$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 4.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y + 0}{N}$

단계 4.3

$N$ 에 $2 y$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$N$ 에 $2 y$ 를 대입합니다.

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

단계 4.3.2

$2 y + 0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

단계 4.3.2.2

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

단계 4.3.2.3

$2 (y) + 2 (0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

단계 4.3.2.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.4.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

단계 4.3.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

단계 4.3.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y + 0}{y}$

단계 4.3.3

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y}{y}$

단계 4.3.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{y}$

단계 4.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

단계 5

적분 $e^{\int d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

단계 5.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

단계 6

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{x}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$x^{2} + y^{2} + 2 x$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

단계 6.3

$2 y$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

단계 8

$N (x, y) = 2 y e^{x}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$2 e^{x}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2 e^{x}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

단계 8.3.2.2

$\frac{2}{2}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

단계 8.3.2.3.2

$e^{x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} y^{2} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $e^{x} y^{2}$ 의 미분은 $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 11.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 11.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 11.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 11.5.2

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $y^{2} e^{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

단계 12.1.2

$x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.1.2.1

$y^{2} e^{x}$ 에서 $y^{2} e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

단계 12.1.2.2

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 13

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

단계 13.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

단계 13.4

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

단계 13.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

단계 13.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

단계 13.7

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

단계 13.8

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

단계 13.9

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

단계 13.10

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

단계 13.11

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

단계 13.12

간단히 합니다.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

단계 14

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

단계 15

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

단계 15.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

단계 15.2

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$- 2 x e^{x}$ 를 $2 x e^{x}$ 에 더합니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

단계 15.2.2

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

단계 15.2.3

$2 e^{x}$ 에서 $2 e^{x}$ 을 뺍니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

단계 15.2.4

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

단계 15.3

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$