미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y \cot (2 x)$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $2 y \cot (2 x)$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = 2 x$

단계 1.2

$2 y \cot (2 x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = 2 x$

단계 1.3

$y$ 와 $2 \cot (2 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = 2 x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 2 \cot (2 x)$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

단계 2.2

$2 \cot (2 x)$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

단계 2.2.2

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2.2.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.2.2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

단계 2.2.3

$\cot (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

단계 2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

단계 2.2.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

단계 2.2.5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

단계 2.2.5.3

$\int \cot (u) d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\int \cot (u) d u}$

단계 2.2.6

$\cot (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sin (u) |)$ 입니다.

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\sin (2 x)$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\sin (2 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $\sin (2 x)$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) (2 x)$

단계 3.2

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

괄호를 옮깁니다.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

단계 3.2.2

$\sin (2 x)$ 와 $2 \cot (2 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

단계 3.2.3

괄호를 표시합니다.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

단계 3.2.4

$\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) (2 x)$

단계 3.2.5

공약수로 약분합니다.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) (2 x)$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$

단계 3.4

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = 2 \sin (2 x) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = 2 x \sin (2 x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = 2 x \sin (2 x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int 2 x \sin (2 x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\sin (2 x) y = \int 2 x \sin (2 x) d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin (2 x) y = 2 \int x \sin (2 x) d x$

단계 7.2

$u = x$ 이고 $d v = \sin (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\sin (2 x) y = 2 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 7.3.2

$x$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 7.3.3

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 7.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 7.5.2

$\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 7.6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

단계 7.7

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 7.7.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 7.7.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 7.7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 7.8

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 7.9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

단계 7.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.10.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

단계 7.10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

단계 7.11

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

단계 7.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.12.1

$2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ 을 $2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

단계 7.12.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.12.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

단계 7.12.2.2

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

단계 7.12.2.3

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (u)$ 을 묶습니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

단계 7.13

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

단계 7.14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sin (2 x) y = 2 (- \frac{\cos (2 x) x}{2}) + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 7.14.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.14.2.1

$- \frac{\cos (2 x) x}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 7.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\sin (2 x) y = 2 \frac{- \cos (2 x) x}{2} + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 7.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

단계 7.14.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.14.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 (2)} + C$

단계 7.14.3.2

공약수로 약분합니다.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

단계 7.14.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\sin (2 x) y = - \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 7.14.4

$- \cos (2 x) x + \frac{\sin (2 x)}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 7.15

항을 다시 정렬합니다.

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

단계 8

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ 의 각 항을 $\sin (2 x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\sin (2 x) y = - x \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$ 의 각 항을 $\sin (2 x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\sin (2 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- x \cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

분수를 나눕니다.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

단계 8.3.1.2

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ 을 $\cot (2 x)$ 로 변환합니다.

$y = \frac{- x}{1} \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

단계 8.3.1.3

$- x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

단계 8.3.1.4

$\sin (2 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{\frac{1}{2} \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

단계 8.3.1.4.2

$\frac{1}{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

단계 8.3.1.5

분수를 나눕니다.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

단계 8.3.1.6

$\frac{1}{\sin (2 x)}$ 을 $\csc (2 x)$ 로 변환합니다.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

단계 8.3.1.7

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - x \cot (2 x) + \frac{1}{2} + C \csc (2 x)$