미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 4 x \ln (x)$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = 4 x \ln (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 4 x \ln (x) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 4 x \ln (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 4 \int x \ln (x) d x$

단계 2.3.2

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 2.3.3.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

단계 2.3.3.4

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

단계 2.3.3.5

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.3.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

단계 2.3.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.3.5.2.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

단계 2.3.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

단계 2.3.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}))$

단계 2.3.6

답을 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$

단계 2.3.6.2

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$ 을 $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$

단계 2.3.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + K$