미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 20 - 4 x - 5 y + x y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = (20 - 4 x) - 5 y + x y$

단계 1.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 (5 - x) - y (5 - x)$

단계 1.1.2

최대공약수 $5 - x$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = (5 - x) (4 - y)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{4 - y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((5 - x) (4 - y))$

단계 1.3

$4 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$(5 - x) (4 - y)$ 에서 $4 - y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

단계 1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

단계 1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = 5 - x$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4 - y} d y = (5 - x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{4 - y} d y = \int 5 - x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

먼저 $u = 4 - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 4 - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 2.2.1.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 5 - x d x$

단계 2.2.2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 - x d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $4 - y$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 d x + \int - x d x$

단계 2.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - x d x$

단계 2.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - \int x d x$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6

항을 다시 정렬합니다.

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| 4 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| 4 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.2.2

$\ln (| 4 - y |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.2

$\frac{1}{2} x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.4

$\frac{5 x}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (5 x) + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.5

$- 1 \cdot (5 x)$ 을 $- (5 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - (5 x) + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.7

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - 1 \cdot C$

단계 3.1.3.1.8

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$

단계 3.2

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 4 - y |)} = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

단계 3.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} = | 4 - y |$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

단계 3.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$4 - y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

단계 3.4.3

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$

단계 3.4.4

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 3.4.4.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

단계 3.4.4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- 4}{- 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.4.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $1$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.3.1

$\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ 에 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.4.3.3.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.4.3.3.3

$\frac{- 4}{- 1}$ 에 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{- - 1}$

단계 3.4.4.3.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{1}$

단계 3.4.4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1 - 4 \cdot - 1}{1}$

단계 3.4.4.3.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.5.1

$\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

단계 3.4.4.3.5.2

$- 1 (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ 을 $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

단계 3.4.4.3.5.3

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4}{1}$

단계 3.4.4.3.6

$- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}) + 4$

단계 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}$ 을 $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}) + 4$

단계 4.3

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$

단계 4.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = - (C e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$