미적분 예제

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = 1$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d t}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{t + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{t}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

단계 2.3

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$4$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

단계 6.2

$e^{t}$ 와 $\cos (2 t)$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

단계 6.3

$u = \cos (2 t)$ 이고 $d v = e^{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

단계 6.4

$- 2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

단계 6.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

단계 6.5.2

$e^{t}$ 와 $\sin (2 t)$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

단계 6.6

$u = \sin (2 t)$ 이고 $d v = e^{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

단계 6.7

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

단계 6.8

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.8.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

단계 6.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

단계 6.8.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

단계 6.9

$\int e^{t} \cos (2 t) d t$ 을 풀면 $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ 입니다.

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

단계 6.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.1

$4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ 을 $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

단계 6.10.2

간단히 합니다.

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

단계 7

$e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ 의 각 항을 $e^{t}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ 의 각 항을 $e^{t}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.2.1.2

$q$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

$e^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.3.1.1.2

$\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.3.1.3

$\frac{4}{5}$ 와 $\cos (2 t)$ 을 묶습니다.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.3.1.4

$\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.4.1

$2$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.3.1.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

단계 7.3.1.4.3

$\frac{8}{5}$ 와 $\sin (2 t)$ 을 묶습니다.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

단계 8

초기 조건을 활용하여 $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $q$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

단계 9

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2.1.2.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2.1.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2.1.2.4

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2.1.2.5

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2.1.2.6

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2.1.3

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

단계 9.2.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.4.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

단계 9.2.1.4.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{5} + C = 1$

단계 9.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{4}{5}$ 를 뺍니다.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

단계 9.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

단계 9.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

단계 9.3.4

$5$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$C = \frac{1}{5}$

단계 10

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ 의 $C$ 에 $\frac{1}{5}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$C$ 에 $\frac{1}{5}$ 를 대입합니다.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

단계 10.2.2

조합합니다.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

단계 10.2.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$