미적분 예제

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

단계 1

$v = e^{x + y}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $e^{x + y}$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

단계 2

$e^{x + y}$ 를 미분하여 $\frac{d v}{d x}$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

단계 3

$e^{x + y}$ 에 $v$ 를 대입합니다.

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

단계 4

도함수를 다시 미분 방정식에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

단계 4.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

단계 5

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{d v}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

양변에 $v$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

단계 5.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

단계 5.1.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

단계 5.1.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.2.1

지수를 더하여 $v$ 에 $v$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.2.1.1

$v$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

단계 5.1.2.2.1.2

$v$ 에 $v$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

단계 5.2

양변에 $\frac{1}{v^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

단계 5.3

$v^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$x v^{2}$ 에서 $v^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

단계 5.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

단계 5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

단계 5.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

단계 6

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

단계 6.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$v^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

단계 6.2.1.2

${(v^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

단계 6.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

단계 6.2.2

멱의 법칙에 의해 $v^{- 2}$ 를 $v$ 에 대해 적분하면 $- v^{- 1}$ 가 됩니다.

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

단계 6.2.3

$- v^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{v} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

단계 6.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 6.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

단계 7

$v$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

단계 7.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 7.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$v, 2, 1$

단계 7.2.2

$v, 2, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $1, 2, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $v^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 7.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 7.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 7.2.5

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 7.2.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 7.2.7

$1, 2, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2$

단계 7.2.8

$v^{1}$ 의 인수는 $v$ 자신입니다.

$v^{1} = v$

$v$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 7.2.9

$v^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$v$

단계 7.2.10

$v, 2, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $2$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$2 v$

단계 7.3

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ 의 각 항에 $2 v$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ 의 각 항에 $2 v$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

단계 7.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$v$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1.1

$- \frac{1}{v}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

단계 7.3.2.1.2

$2 v$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

단계 7.3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

단계 7.3.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

단계 7.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

단계 7.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

단계 7.3.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

단계 7.3.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

단계 7.3.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

단계 7.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$x^{2} v + 2 K v = - 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

단계 7.4.2

$x^{2} v + 2 K v$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

$x^{2} v$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

단계 7.4.2.2

$2 K v$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

단계 7.4.2.3

$v (x^{2}) + v (2 K)$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

단계 7.4.3

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$ 의 각 항을 $x^{2} + 2 K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.1

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$ 의 각 항을 $x^{2} + 2 K$ 로 나눕니다.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

단계 7.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.2.1

$x^{2} + 2 K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

단계 7.4.3.2.1.2

$v$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

단계 7.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

단계 8

적분 상수를 간단히 합니다.

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

단계 9

$v$ 를 모두 $e^{x + y}$ 로 바꿉니다.

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

단계 10

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

단계 10.2

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$x + y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{x + y})$ 을 전개합니다.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

단계 10.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

단계 10.2.3

$x + y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

단계 10.3

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$