미적분 예제

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d s = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d s = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$s + C_{1} = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$12$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{1} = 12 \int t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

단계 2.3.2

먼저 $u = 2 t^{2} - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 t d t$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 2 t^{2} - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$2 t^{2} - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 t^{2} - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.4.1

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$4 t + 0$

단계 2.3.2.1.4.2

$4 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 t$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{4} d u$

단계 2.3.3

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{4} d u$

단계 2.3.4

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u)$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ 와 $12$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = \frac{12}{4} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2

$12$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$s + C_{1} = \frac{3}{1} \int u^{3} d u$

단계 2.3.5.2.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$s + C_{1} = 3 \int u^{3} d u$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ 을 $3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.7.2

$3$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$s + C_{1} = \frac{3}{4} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u$ 를 모두 $2 t^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$s + C_{1} = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$s = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + K$