미적분 예제

$(y + 4) d x + x d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(y + 4) d x$ 를 뺍니다.

$x d y = - (y + 4) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x (y + 4)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

단계 3.3

$y + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{x (y + 4)}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

단계 3.3.2

$x (y + 4)$ 에서 $y + 4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

단계 3.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

단계 3.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

먼저 $u = y + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$u = y + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$y + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

단계 4.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

단계 4.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

단계 4.2.1.1.4

$4$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $y + 4$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

단계 5.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

단계 5.3

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

단계 5.5

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

단계 5.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y x + 4 x |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | y x + 4 x |$

단계 5.7

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.7.1

$| y x + 4 x | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y x + 4 x | = e^{C}$

단계 5.7.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

단계 5.7.3

방정식의 양변에서 $4 x$ 를 뺍니다.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

단계 5.7.4

$y x = \pm e^{C} - 4 x$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.4.1

$y x = \pm e^{C} - 4 x$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

단계 5.7.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.4.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

단계 5.7.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

단계 5.7.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.4.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.4.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

단계 5.7.4.3.1.2

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{C}{x} - 4$