미적분 예제

$x (1 + y^{2}) d x = y d y$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$y d y = x (1 + y^{2}) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{1 + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{1 + y^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2})) d x$

단계 3.2

$1 + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x (1 + y^{2})$ 에서 $1 + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x) d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

먼저 $u = 1 + y^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$u = 1 + y^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

단계 4.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 4.2.1.1.3

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 4.2.1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 y$

단계 4.2.1.1.5

$0$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$2 y$

단계 4.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

단계 4.2.2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

단계 4.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

단계 4.2.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

단계 4.2.6

$u$ 를 모두 $1 + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

단계 4.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 5.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| 1 + y^{2} |)$ 을 묶습니다.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 5.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 5.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

단계 5.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

단계 5.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

단계 5.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

단계 5.5.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

단계 5.5.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

단계 5.5.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

단계 6.2

$e^{x^{2} + C}$ 을 $e^{x^{2}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

단계 6.3

$e^{x^{2}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

단계 6.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$