미적분 예제

$x^{9} + 16 y \frac{d y}{d x} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $x^{9}$ 를 뺍니다.

$16 y \frac{d y}{d x} = - x^{9}$

단계 1.1.2

$16 y \frac{d y}{d x} = - x^{9}$ 의 각 항을 $16 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$16 y \frac{d y}{d x} = - x^{9}$ 의 각 항을 $16 y$ 로 나눕니다.

$\frac{16 y \frac{d y}{d x}}{16 y} = \frac{- x^{9}}{16 y}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{16 y \frac{d y}{d x}}{16 y} = \frac{- x^{9}}{16 y}$

단계 1.1.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{9}}{16 y}$

단계 1.1.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{9}}{16 y}$

단계 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{9}}{16 y}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{9}}{16 y}$

단계 1.2

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{9}}{16 y})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{9}}{16 y}$

단계 1.3.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{9}}{16 y}$

단계 1.3.2.2

$16 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{9}}{y \cdot 16}$

단계 1.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{9}}{y \cdot 16}$

단계 1.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{9}}{16}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$y d y = - \frac{x^{9}}{16} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int - \frac{x^{9}}{16} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{9}}{16} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{9}}{16} d x$

단계 2.3.2

$\frac{1}{16}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{16} \int x^{9} d x)$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{9}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{10} x^{10}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$- \frac{1}{16} (\frac{1}{10} x^{10} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{10} x^{10} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{10} x^{10} + C_{2}$

단계 2.3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

$\frac{1}{10}$ 에 $\frac{1}{16}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{10 \cdot 16} x^{10} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2

$10$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{160} x^{10} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{160} x^{10} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{160} x^{10} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{160} x^{10} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{160} x^{10} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{160} x^{10} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{160} x^{10} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$x^{10}$ 와 $\frac{1}{160}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{10}}{160} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{10}}{160}) + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{10}}{160}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{10}}{160} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

$160$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{10}}{2 (80)} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{10}}{2 \cdot 80} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = \frac{- x^{10}}{80} + 2 K$

단계 3.2.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} = - \frac{x^{10}}{80} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{10}}{80} + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{x^{10}}{80} + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 K$ 을 표현하기 위해 $\frac{80}{80}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{10}}{80} + 2 K \cdot \frac{80}{80}}$

단계 3.4.2

$2 K$ 와 $\frac{80}{80}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{10}}{80} + \frac{2 K \cdot 80}{80}}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{10} + 2 K \cdot 80}{80}}$

단계 3.4.4

$80$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{10} + 160 K}{80}}$

단계 3.4.5

$\frac{- x^{10} + 160 K}{80}$ 을 ${(\frac{1}{4})}^{2} \frac{- x^{10} + 160 K}{5}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$- x^{10} + 160 K$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{10} + 160 K)}{80}}$

단계 3.4.5.2

$80$ 에서 완전제곱인 $4^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{10} + 160 K)}{4^{2} \cdot 5}}$

단계 3.4.5.3

분수 $\frac{1^{2} (- x^{10} + 160 K)}{4^{2} \cdot 5}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} \frac{- x^{10} + 160 K}{5}}$

단계 3.4.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{4} \sqrt{\frac{- x^{10} + 160 K}{5}}$

단계 3.4.7

$\sqrt{\frac{- x^{10} + 160 K}{5}}$ 을 $\frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K}}{\sqrt{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K}}{\sqrt{5}}$

단계 3.4.8

조합합니다.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{10} + 160 K}}{4 \sqrt{5}}$

단계 3.4.9

$\sqrt{- x^{10} + 160 K}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K}}{4 \sqrt{5}}$

단계 3.4.10

$\frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K}}{4 \sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K}}{4 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

단계 3.4.11

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.1

$\frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K}}{4 \sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 3.4.11.2

$\sqrt{5}$ 를 옮깁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

단계 3.4.11.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

단계 3.4.11.4

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

단계 3.4.11.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.11.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 {\sqrt{5}}^{2}}$

단계 3.4.11.7

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.11.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.11.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.11.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.11.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.11.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 \cdot 5^{1}}$

단계 3.4.11.7.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{10} + 160 K} \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

단계 3.4.12

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{10} + 160 K) \cdot 5}}{4 \cdot 5}$

단계 3.4.13

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.13.1

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{10} + 160 K) \cdot 5}}{20}$

단계 3.4.13.2

$\pm \frac{\sqrt{(- x^{10} + 160 K) \cdot 5}}{20}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + 160 K)}}{20}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + K)}}{20}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{10} + K)}}{20}$