미적분 예제

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

단계 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

단계 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

단계 1.1.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

단계 1.1.3

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

단계 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

단계 1.1.3.3

${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

단계 1.1.3.4

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

단계 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ 의 각 항을 $x^{2} + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ 의 각 항을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.2

$- y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.3

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.4

$- (y^{2}) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.3.5.1

$- (y^{2} + 1)$ 을 $- 1 (y^{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

단계 1.1.4.3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.3.2

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$- \frac{1}{y^{2} + 1}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2.3.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 2.3.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 2.3.3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C_{2}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

단계 3.3

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.3.2.2

$\arctan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$\frac{\arctan (y)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.3.3.1.2

$- 1 \cdot \arctan (y)$ 을 $- \arctan (y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.3.3.1.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

단계 3.3.3.1.4

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

단계 3.4

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

단계 3.5

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

단계 3.6

탄젠트 안의 $\arctan (y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

단계 3.7

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

단계 3.8

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.8.2.2

$\arctan (y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1.1

$\frac{\arctan (x)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.8.3.1.2

$- 1 \cdot \arctan (x)$ 을 $- \arctan (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.8.3.1.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

단계 3.8.3.1.4

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

단계 3.9

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

단계 3.10

$y$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

단계 3.11

탄젠트 안의 $\arctan (y)$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

단계 3.12

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

단계 3.13

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.13.1

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.13.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.13.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.13.2.2

$\arctan (y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.13.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.13.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.13.3.1.1

$\frac{\arctan (x)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.13.3.1.2

$- 1 \cdot \arctan (x)$ 을 $- \arctan (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

단계 3.13.3.1.3

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

단계 3.13.3.1.4

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

단계 3.14

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$