미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 6 y \cos (3 x) = \cos (3 x)$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에서 $6 y \cos (3 x)$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$

단계 1.2

$\cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$ 에서 $\cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 - 6 y \cos (3 x)$

단계 1.2.2

$- 6 y \cos (3 x)$ 에서 $\cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$

단계 1.2.3

$\cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$ 에서 $\cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) (1 - 6 y)$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{1 - 6 y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} (\cos (3 x) (1 - 6 y))$

단계 1.4

$1 - 6 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\cos (3 x) (1 - 6 y)$ 에서 $1 - 6 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

단계 1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

단계 1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 - 6 y} d y = \cos (3 x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{1 - 6 y} d y = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u_{1} = 1 - 6 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = - 6 d y$ 이므로 $- \frac{1}{6} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u_{1} = 1 - 6 y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$1 - 6 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [1 - 6 y]$

단계 2.2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 6 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

단계 2.2.1.1.2.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- 6 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$- 6$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 6 y$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 6 \cdot 1$

단계 2.2.1.1.3.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 6$

단계 2.2.1.1.4

$0$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 6$

단계 2.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{6}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.2.7

$u_{1}$ 를 모두 $1 - 6 y$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 2.3.1.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 2.3.1.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 2.3.2

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

단계 2.3.3

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

단계 2.3.4

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

단계 2.3.6

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $- 6$ 을 곱합니다.

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |)) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\ln (| 1 - 6 y |)$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

단계 3.2.1.1.2

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

$- 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

단계 3.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

단계 3.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- - \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

단계 3.2.1.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

단계 3.2.1.1.3.2

$\ln (| 1 - 6 y |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $\sin (3 x)$ 을 묶습니다.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{\sin (3 x)}{3} + C)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

단계 3.2.2.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$- 6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 (- 2) \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

단계 3.2.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 \cdot - 2 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

단계 3.2.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 1 - 6 y |)} = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} = | 1 - 6 y |$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

단계 3.5.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$1 - 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

단계 3.5.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$

단계 3.5.4

$- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ 의 각 항을 $- 6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

$- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ 의 각 항을 $- 6$ 로 나눕니다.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

단계 3.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1

$- 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

단계 3.5.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

단계 3.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

단계 3.5.4.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) + C}}{6} + \frac{1}{6}$

단계 4.2

$e^{- 2 \sin (3 x) + C}$ 을 $e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}}{6} + \frac{1}{6}$

단계 4.3

$e^{- 2 \sin (3 x)}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$

단계 4.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \frac{C e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$