미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.3.2.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ 을 $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

단계 2.3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

$12$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2

$12$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.2.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

단계 2.3.5

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $3$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$4 \sin^{3} (0) + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

단계 4.2.1.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 \cdot 0 + K = 3$

단계 4.2.1.1.3

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + K = 3$

단계 4.2.1.2

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$K = 3$

단계 5

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$ 의 $K$ 에 $3$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$