미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{e^{x}}{6 + e^{x}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{6 + e^{x}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

먼저 $u = 6 + e^{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = e^{x} d x$ 이므로 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.1.1

$u = 6 + e^{x}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$6 + e^{x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 + e^{x}]$

단계 2.3.1.1.2

미분합니다.

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단계 2.3.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $6 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.3.1.1.2.2

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.3.1.1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + e^{x}$

단계 2.3.1.1.4

$0$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$e^{x}$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $6 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \ln (| 6 + e^{x} |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = \ln (| 6 + e^{x} |) + C$