미적분 예제

$(2 x - 3 y + 1) d x - (3 x + 2 y - 4) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 2 x - 3 y + 1$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - 3 y + 1]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x - 3 y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.2.2

$2 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 3$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 3 y$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.3.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 + 0$

단계 1.5

항을 묶습니다.

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단계 1.5.1

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 + 0$

단계 1.5.2

$- 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

단계 2

$N (x, y) = - (3 x + 2 y - 4)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x + 2 y - 4)]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (3 x + 2 y - 4)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [3 x + 2 y - 4]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x + 2 y - 4]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $3 x + 2 y - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 2.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 2.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 2.7

$2 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 2.8

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 2.9

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0)$

단계 2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 3$

단계 2.10.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 3$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$- 3 = - 3$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$- 3 = - 3$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - (3 x + 2 y - 4) d y$

단계 5

$N (x, y) = - (3 x + 2 y - 4)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = - \int 3 x + 2 y - 4 d y$

단계 5.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = - (\int 3 x d y + \int 2 y d y + \int - 4 d y)$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - (3 x y + C + \int 2 y d y + \int - 4 d y)$

단계 5.4

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 \int y d y + \int - 4 d y)$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 4 d y)$

단계 5.6

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 4 y + C)$

단계 5.7

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 4 y + C)$

단계 5.8

간단히 합니다.

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 3 y + 1$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $- (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (3 x y + y^{2} - 4 y)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} - 4 y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} - 4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $3 x y + y^{2} - 4 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ 가 됩니다.

$- (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.3

$3 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x y$ 의 미분은 $3 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.5

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$- (3 y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.6

$- 4 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4 y$ 입니다.

$- (3 y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (3 y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.8

$3 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- (3 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.9

$3 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- (3 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.3.10

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$- 3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 1$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - 3 y = 2 x - 3 y + 1$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에 $3 y$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 1 + 3 y$

단계 9.1.2

$2 x - 3 y + 1 + 3 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$- 3 y$ 를 $3 y$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 + 1$

단계 9.1.2.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 1$

단계 10

$2 x + 1$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 1$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 1 d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 2 x + 1 d x$

단계 10.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$g (x) = \int 2 x d x + \int d x$

단계 10.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 2 \int x d x + \int d x$

단계 10.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

단계 10.6

상수 규칙을 적용합니다.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

단계 10.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

단계 10.8

간단히 합니다.

$g (x) = x^{2} + x + C$

단계 11

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + x^{2} + x + C$

단계 12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - (3 x y) - y^{2} - (- 4 y) + x^{2} + x + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - 3 (x y) - y^{2} - (- 4 y) + x^{2} + x + C$

단계 12.2.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = - 3 (x y) - y^{2} + 4 y + x^{2} + x + C$

$f (x, y) = - 3 x y - y^{2} + 4 y + x^{2} + x + C$