미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 9 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 11$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (9 + \frac{1}{x}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 9 + \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 9 + \frac{1}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int 9 d x + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$y + C_{1} = 9 x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$y + C_{1} = 9 x + \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = 9 x + \ln (| x |) + C$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = 9 x + \ln (| x |) + C$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $11$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$11 = 9 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$

단계 4

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$9 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 11$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$9 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 11$

단계 4.2

$9 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 + \ln (| 1 |) + C = 11$

단계 4.2.1.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$9 + \ln (1) + C = 11$

단계 4.2.1.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$9 + 0 + C = 11$

단계 4.2.2

$9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 + C = 11$

단계 4.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$C = 11 - 9$

단계 4.3.2

$11$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$C = 2$

단계 5

$y = 9 x + \ln (| x |) + C$ 의 $C$ 에 $2$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$C$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = 9 x + \ln (| x |) + 2$