미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

단계 2.3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$x^{- 4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

단계 2.3.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

단계 2.3.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

단계 2.3.6

$x^{- 1}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

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단계 2.3.7.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.3.7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $3$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

단계 4

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

단계 4.2

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

단계 4.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

단계 4.2.1.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

단계 4.2.1.4

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

단계 4.2.1.5

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

단계 4.2.2

$- \frac{3}{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{3}{4} + C = 3$

단계 4.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에 $\frac{3}{4}$ 를 더합니다.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

단계 4.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

단계 4.3.3

$3$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

단계 4.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

단계 4.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.5.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$C = \frac{12 + 3}{4}$

단계 4.3.5.2

$12$ 를 $3$ 에 더합니다.

$C = \frac{15}{4}$

단계 5

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ 의 $C$ 에 $\frac{15}{4}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$C$ 에 $\frac{15}{4}$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

단계 5.2.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$