미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} \cdot e^{2 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{e^{2 y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{3 x} \cdot e^{2 y})$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$e^{2 y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$e^{3 x} \cdot e^{2 y}$ 에서 $e^{2 y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

단계 1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

단계 1.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}$

단계 1.2.2

지수를 더하여 $e^{3 x - 2 y}$ 에 $e^{2 y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y + 2 y}$

단계 1.2.2.2

$3 x - 2 y + 2 y$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

$- 2 y$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x + 0}$

단계 1.2.2.2.2

$3 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = e^{3 x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$e^{2 y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

${(e^{2 y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.1.2.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.1.2.2

$e^{- 2 y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.2

먼저 $u_{1} = - 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = - 2 d y$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u_{1} = - 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$- 2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

단계 2.2.2.1.2

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 2.2.2.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 2.2.2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.3.2

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.4

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.6

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$- \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

단계 2.2.8

$u_{1}$ 를 모두 $- 2 y$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u_{2} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u_{2} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 2.3.1.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 2.3.1.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 2.3.1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 2.3.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

단계 2.3.3

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 2.3.4

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C_{2}$

단계 2.3.6

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$e^{- 2 y}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

$- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

단계 3.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

단계 3.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

단계 3.2.1.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

단계 3.2.1.1.3.2

$e^{- 2 y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$- 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{3 x}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{e^{3 x}}{3} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{e^{3 x}}{3} - 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$- 2$ 와 $\frac{e^{3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{- 2 y} = \frac{- 2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

단계 3.2.2.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{- 2 y} = - \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- 2 y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 2 y})$ 을 전개합니다.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

단계 3.4.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

단계 3.5

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

단계 3.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} + K)}{2}$