미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $1 - y$ 을 곱합니다.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

단계 1.2

$1 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(1 - y) d y = x^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 1 - y d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int - y d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int - y d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} - \int y d y = \int x^{2} d x$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$y - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} d x$

단계 2.2.6

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

단계 3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + K$

단계 3.3

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{x^{3}}{3}$ 를 뺍니다.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = K$

단계 3.3.2

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - K = 0$

단계 3.4

식 전체에 최소공분모 $6$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (- \frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

$- \frac{y^{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$6 (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.1.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (3) (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot (3 (\frac{- y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$3 (- y^{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1

$- \frac{x^{3}}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3.2

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- 3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- K) = 0$

단계 3.4.2.5

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 6 K = 0$

단계 3.4.3

$6 y$ 를 옮깁니다.

$- 3 y^{2} - 2 x^{3} - 6 K + 6 y = 0$

단계 3.4.4

$- 3 y^{2}$ 와 $- 2 x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 2 x^{3} - 3 y^{2} - 6 K + 6 y = 0$

단계 3.5

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.6

이차함수의 근의 공식에 $a = - 3$ , $b = 6$ , $c = - 2 x^{3} - 6 K$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.2

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.4

$- 2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.5

$- 6$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.6

$36 - 24 x^{3} - 72 K$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.6.1

$36$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.6.2

$- 24 x^{3}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.6.3

$- 72 K$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.6.4

$12 (3) + 12 (- 2 x^{3})$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.6.5

$12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.7

$12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)$ 을 $2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.7.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.7.3

괄호를 표시합니다.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.7.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$

단계 3.7.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

단계 3.8

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$