미적분 예제

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

단계 1.2.2

$e^{x}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x e^{- y}$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

단계 1.3.2

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = - y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

단계 1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

단계 1.3.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

단계 1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

단계 1.3.6

$e^{- y}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

단계 1.3.7

$- 1 e^{- y}$ 을 $- e^{- y}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

단계 1.3.8

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$0$ 에서 $2 x e^{- y}$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

단계 1.4.2

$- 2 x e^{- y}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

단계 1.4.3

$- 2 e^{- y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

단계 2

$N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + e^{- y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

단계 2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$e^{- y}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $e^{- y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $e^{- y}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

단계 2.4.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 x e^{- y}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $e^{x}$ 을 대입합니다.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $e^{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 x e^{- y}$ 를 대입합니다.

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$M$ 에 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 를 대입합니다.

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

단계 4.3.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

단계 4.3.3

$M$ 에 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

단계 4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$1$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

단계 5

적분 $e^{\int d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

단계 5.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

단계 6

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{y}$ 를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

단계 6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

단계 6.4

지수를 더하여 $e^{- y}$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$e^{y}$ 를 옮깁니다.

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

단계 6.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

단계 6.4.3

$y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

단계 6.5

$2 x e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

단계 6.6

$e^{x} + e^{- y}$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

단계 6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

단계 6.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

단계 6.9

지수를 더하여 $e^{- y}$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.9.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

단계 6.9.2

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

단계 6.10

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

단계 8

$N (x, y) = e^{x + y} + 1$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

단계 8.2

먼저 $u = x + y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$u = x + y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$x + y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [x + y]$

단계 8.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

단계 8.2.1.3

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

단계 8.2.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 8.2.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 8.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

단계 8.3

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

단계 8.4

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

단계 8.5

간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

단계 8.6

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

단계 9

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $e^{x + y} + y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.3

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.3.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.3.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.3.4

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.3.6

$e^{x + y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.4

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.5

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.6.1

$e^{x + y}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

단계 11.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

단계 12

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

방정식의 양변에서 $e^{x + y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

단계 12.1.2

$e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.1

$e^{x + y}$ 에서 $e^{x + y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

단계 12.1.2.2

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

단계 13

$2 x$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 2 x d x$

단계 13.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 2 \int x d x$

단계 13.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 13.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

단계 13.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

단계 13.5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

단계 13.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

단계 13.5.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (x) = x^{2} + C$

단계 14

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$