미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

단계 2

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 로 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분수 $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

단계 2.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{x y}{x^{17}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

단계 2.2

방정식을 고립된 계수로 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 2.3

$- \frac{x y}{x^{17}}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 2.4

$y$ 와 $- \frac{x}{x^{17}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 3

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

단계 3.2

$- \frac{x}{x^{17}}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x$ 및 $x^{17}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

단계 3.2.1.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

단계 3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

$x^{17}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

단계 3.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

단계 3.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

단계 3.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

단계 3.2.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$x^{16}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

단계 3.2.3.2

${(x^{16})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

단계 3.2.3.2.2

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

단계 3.2.4

멱의 법칙에 의해 $x^{- 16}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ 가 됩니다.

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

단계 3.2.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1.1

$x^{- 15}$ 와 $\frac{1}{15}$ 을 묶습니다.

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

단계 3.2.5.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 15}$ 를 분모로 이동합니다.

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

단계 3.2.5.2

간단히 합니다.

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

단계 3.2.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

단계 3.2.5.3.2

$\frac{1}{15 x^{15}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

단계 3.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

단계 4

각 항에 적분 인수 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항에 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.2.2

$x$ 및 $x^{17}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.3.1

$x^{17}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.2.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.2.3

$\frac{1}{x^{16}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.2.4

$\frac{y}{x^{16}}$ 와 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

단계 4.3

$x$ 및 $x^{17}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 16 f x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

단계 4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$x^{17}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

단계 4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

단계 4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

단계 4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

단계 4.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

단계 4.6

$\frac{16 f}{x^{16}}$ 와 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

단계 5

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

단계 6

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

단계 7

좌변을 적분합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

단계 8

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

단계 8.2

$16 f$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $16 f$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

단계 8.3

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

단계 8.4

먼저 $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

$u = \frac{1}{15 x^{15}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

$\frac{1}{15 x^{15}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

단계 8.4.1.2

$\frac{1}{15}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{15 x^{15}}$ 의 미분은 $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ 입니다.

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

단계 8.4.1.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.3.1

$\frac{1}{x^{15}}$ 을 ${(x^{15})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

단계 8.4.1.3.2

${(x^{15})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

단계 8.4.1.3.2.2

$15$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

단계 8.4.1.4

$n = - 15$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

단계 8.4.1.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.5.1

$- 15$ 와 $\frac{1}{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

단계 8.4.1.5.2

$\frac{- 15}{15}$ 와 $x^{- 16}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

단계 8.4.1.5.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 16}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

단계 8.4.1.5.4

$- 15$ 및 $15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.5.4.1

$- 15$ 에서 $15$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

단계 8.4.1.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.5.4.2.1

$15 x^{16}$ 에서 $15$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

단계 8.4.1.5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

단계 8.4.1.5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

단계 8.4.1.5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x^{16}}$

단계 8.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

단계 8.5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

단계 8.6

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

단계 8.7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

단계 8.8

간단히 합니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

단계 8.9

$u$ 를 모두 $\frac{1}{15 x^{15}}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

단계 9

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ 의 각 항을 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

단계 9.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

단계 9.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

단계 9.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

단계 9.3.1.2

$16 f$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$