미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + x^{2} y}{x - 4 x y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$3 y + x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$3 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + x^{2} y}{x - 4 x y}$

단계 1.1.2

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 3 + y x^{2}}{x - 4 x y}$

단계 1.1.3

$y \cdot 3 + y x^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

단계 1.1.4

$y$ 에 $3 + x^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x - 4 x y}$

단계 1.2

$x - 4 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x^{1} - 4 x y}$

단계 1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 - 4 x y}$

단계 1.2.3

$- 4 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot 1 + x (- 4 y)}$

단계 1.2.4

$x \cdot 1 + x (- 4 y)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x \cdot (1 - 4 y)}$

단계 1.2.5

$x$ 에 $1 - 4 y$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 + x^{2})}{x (1 - 4 y)}$

단계 1.3

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x}$

단계 1.4

양변에 $\frac{1 - 4 y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} (\frac{y}{1 - 4 y} \cdot \frac{3 + x^{2}}{x})$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{y}{1 - 4 y}$ 에 $\frac{3 + x^{2}}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

단계 1.5.2

$1 - 4 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$(1 - 4 y) x$ 에서 $1 - 4 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) (x)}$

단계 1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 4 y}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{(1 - 4 y) x}$

단계 1.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

단계 1.5.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (3 + x^{2})}{x}$

단계 1.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - 4 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3 + x^{2}}{x}$

단계 1.6

식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - 4 y}{y} d y = \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1 - 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.2.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.2.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 4 y}{y} d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.2.3.2

$- 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 4 d y = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} - 4 y + C_{2} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$\ln (| y |) - 4 y + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.2.7

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3 + x^{2}}{x} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

단계 2.3.3

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

단계 2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

단계 2.3.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

단계 2.3.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

단계 2.3.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

단계 2.3.3.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{3}{x} d x + \int x d x$

단계 2.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

단계 2.3.5

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \int x d x$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 (\ln (| x |) + C_{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

단계 2.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- 4 y + \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 \ln (| x |) + C$