미적분 예제

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다시 씁니다.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = y^{3} + 2 t$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $y^{3} + 2 t$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

단계 2.4

$2 t$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2 t$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2 t$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

단계 2.5

$3 y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

단계 3

$N (x, y) = 3 y^{2} t$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

단계 3.2

$3 y^{2} t$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y^{2} t$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y^{2} t$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 y^{2}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$3 y^{2} = 0$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$3 y^{2} = 0$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 y^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $3 y^{2} t$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$N$ 에 $3 y^{2} t$ 를 대입합니다.

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

단계 5.3.2

$3 y^{2} + 0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1

$3 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

단계 5.3.2.2

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

단계 5.3.2.3

$3 (y^{2}) + 3 (0)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

단계 5.3.2.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

$3 y^{2} t$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

단계 5.3.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

단계 5.3.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

단계 5.3.3

$y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

단계 5.3.4

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

단계 5.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{t}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

단계 6

적분 $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

상수 규칙을 적용합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

단계 6.2

답을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{1}{t}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

단계 6.2.2

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

단계 7

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $e^{\frac{x}{t}}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$y^{3} + 2 t$ 에 $e^{\frac{x}{t}}$ 을 곱합니다.

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

단계 7.3

$3 y^{2} t$ 에 $e^{\frac{x}{t}}$ 을 곱합니다.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

단계 9

$N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

$3 t e^{\frac{x}{t}}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3 t e^{\frac{x}{t}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

단계 9.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

단계 9.3

답을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 을 $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 9.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

단계 9.3.2.2

$\frac{3}{3}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

단계 9.3.2.3

$\frac{3 t}{3}$ 와 $e^{\frac{x}{t}}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

단계 9.3.2.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

단계 9.3.2.4.2

$t e^{\frac{x}{t}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

단계 10

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$t y^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ 의 미분은 $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ 입니다.

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{t}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{t}$ 로 바꿉니다.

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{t}$ 로 바꿉니다.

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.3

$\frac{1}{t}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{t}$ 의 미분은 $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.5

$\frac{1}{t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.6

$e^{\frac{x}{t}}$ 와 $\frac{1}{t}$ 을 묶습니다.

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.7

$t$ 와 $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ 을 묶습니다.

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.8

$y^{3}$ 와 $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.9

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.3.9.2

$y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.5

간단히 합니다.

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단계 12.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 12.5.2

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 13

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

단계 13.1.2

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.2.1

$y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 에서 $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

단계 13.1.2.2

$2 t e^{\frac{x}{t}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

단계 14

$2 t e^{\frac{x}{t}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

단계 14.3

$2 t$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 t$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

단계 14.4

먼저 $u = \frac{x}{t}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{t} d x$ 이므로 $t d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

$u = \frac{x}{t}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1.1

$\frac{x}{t}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

단계 14.4.1.2

$\frac{1}{t}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{t}$ 의 미분은 $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

단계 14.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{t} \cdot 1$

단계 14.4.1.4

$\frac{1}{t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{t}$

단계 14.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

단계 14.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

$\frac{1}{t}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

단계 14.5.2

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

단계 14.6

$t$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $t$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

단계 14.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.7.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

단계 14.7.2

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

단계 14.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

단계 14.7.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

단계 14.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

단계 14.9

간단히 합니다.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

단계 14.10

$u$ 를 모두 $\frac{x}{t}$ 로 바꿉니다.

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

단계 15

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

단계 16

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$