미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 1

모든 해는 $y = e^{r x}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{2} - 3 x + 6$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 2.4

괄호를 제거합니다.

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 2.5

$e^{r x}$ 로 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$r^{2} e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 2.5.2

$4 r e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 2.5.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) - 2 e^{r x} = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 2.5.4

$- 2 e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 2.5.5

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot - 2$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} + 4 r - 2) = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 2.6

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r x}$ 으로 나눕니다.

$r^{2} + 4 r - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 6$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

모든 항을 방정식의 좌변으로 옮기고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

방정식의 양변에서 $2 x^{2}$ 를 뺍니다.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} = - 3 x + 6$

단계 3.1.1.2

방정식의 양변에 $3 x$ 를 더합니다.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} + 3 x = 6$

단계 3.1.1.3

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$r^{2} + 4 r - 2 - 2 x^{2} + 3 x - 6 = 0$

단계 3.1.2

$- 2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$r^{2} + 4 r - 2 x^{2} + 3 x - 8 = 0$

단계 3.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 4$ , $c = - 2 x^{2} + 3 x - 8$ 을 대입하여 $r$ 를 구합니다.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.4.1

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4.2

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4.3

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5

$16$ 를 $32$ 에 더합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.6

$8 x^{2} - 12 x + 48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.6.1

$8 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.6.2

$- 12 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.6.3

$48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.6.4

$4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.6.5

$4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

단계 3.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

단계 3.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.4.1

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.4.2

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.4.3

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.5

$16$ 를 $32$ 에 더합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.6

$8 x^{2} - 12 x + 48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.6.1

$8 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.6.2

$- 12 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.6.3

$48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.6.4

$4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.6.5

$4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

단계 3.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

단계 3.5.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

단계 3.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x^{2} + 3 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.4.1

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 4 (3 x) - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.4.2

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.4.3

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x^{2} - 12 x + 32}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.5

$16$ 를 $32$ 에 더합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.6

$8 x^{2} - 12 x + 48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.6.1

$8 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) - 12 x + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.6.2

$- 12 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 48}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.6.3

$48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.6.4

$4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.6.5

$4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2 x^{2} - 3 x + 12)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$

단계 3.6.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$r = - 2 \pm \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

단계 3.6.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

단계 3.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

$r = - 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}$

단계 4

$r$ 의 구한 값 두 개를 사용하여 두 개의 해를 구성할 수 있습니다.

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

단계 5

중첩 원리에 의해 일반해는 2계 동차 선형 미분 방정식에 대한 두 해의 선형 결합입니다.

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12}) x}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 x^{2} - 3 x + 12} x}$