미적분 예제

$x^{5} y d x + ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x^{5} y d x$ 를 뺍니다.

$(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x) d y = - x^{5} y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{\csc (x) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\csc (x) y} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\csc (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\csc (x) y$ 에서 $\csc (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\csc (x) (y)} ((y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.1.2

$(y^{4} + 3 y^{2}) \csc (x)$ 에서 $\csc (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\csc (x) (y)} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\csc (x) y} (\csc (x) (y^{4} + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} (y^{4} + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y}$ 에 $y^{4} + 3 y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{4} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.3

$y^{4} + 3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$y^{4}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} y^{2} + 3 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.3.2

$3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.3.3

$y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y^{2} (y^{2} + 3)}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.4

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$y^{2} (y^{2} + 3)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y^{1}} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.4.2.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (y (y^{2} + 3))}{y \cdot 1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y (y^{2} + 3)}{1} d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.4.2.5

$y (y^{2} + 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y (y^{2} + 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$(y \cdot y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.6

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.1

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$(y^{1} y^{2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(y^{1 + 2} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.6.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(y^{3} + y \cdot 3) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.7

$y$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{1}{\csc (x) y} (- x^{5} y) d x$

단계 3.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

단계 3.9

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.9.1

$- \frac{1}{\csc (x) y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x) y} (x^{5} y) d x$

단계 3.9.2

$\csc (x) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (x^{5} y) d x$

단계 3.9.3

$x^{5} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

단계 3.9.4

공약수로 약분합니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{y \csc (x)} (y x^{5}) d x$

단계 3.9.5

수식을 다시 씁니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- 1}{\csc (x)} x^{5} d x$

단계 3.10

$\frac{- 1}{\csc (x)}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = \frac{- x^{5}}{\csc (x)} d x$

단계 3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = - \frac{x^{5}}{\csc (x)} d x$

단계 3.12

분수를 나눕니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}) d x$

단계 3.13

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}) d x$

단계 3.14

$\frac{1}{\sin (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} (1 \sin (x))) d x$

단계 3.15

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = - (\frac{x^{5}}{1} \sin (x)) d x$

단계 3.16

$x^{5}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(y^{3} + 3 y) d y = - x^{5} \sin (x) d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{3} + 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{3} d y + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

단계 4.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 3 y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

단계 4.2.3

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 \int y d y = \int - x^{5} \sin (x) d x$

단계 4.2.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - x^{5} \sin (x) d x$

단계 4.2.5

간단히 합니다.

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단계 4.2.5.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + 3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

단계 4.2.5.2

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x^{5} \sin (x) d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - \int x^{5} \sin (x) d x$

단계 4.3.2

$u = x^{5}$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (5 x^{4}) d x)$

단계 4.3.3

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - \int - 5 \cos (x) x^{4} d x)$

단계 4.3.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) - (- 5 \int \cos (x) x^{4} d x))$

단계 4.3.5

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 \int \cos (x) x^{4} d x)$

단계 4.3.6

$u = x^{4}$ 이고 $d v = \cos (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - \int \sin (x) (4 x^{3}) d x))$

단계 4.3.7

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - (4 \int \sin (x) (x^{3}) d x)))$

단계 4.3.8

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 \int \sin (x) (x^{3}) d x))$

단계 4.3.9

$u = x^{3}$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x)))$

단계 4.3.10

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x)))$

단계 4.3.11

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x))))$

단계 4.3.12

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x)))$

단계 4.3.13

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \cos (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x))))$

단계 4.3.14

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x)))))$

단계 4.3.15

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x))))$

단계 4.3.16

$u = x$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)))))$

단계 4.3.17

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)))))$

단계 4.3.18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.18.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)))))$

단계 4.3.18.2

$\int \cos (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)))))$

단계 4.3.19

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$

단계 4.3.20

$- (x^{5} (- \cos (x)) + 5 (x^{4} \sin (x) - 4 (x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{4})))))$ 을 $- (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} + C_{3} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{3}{2} y^{2} = - (- x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x) + 20 x^{3} \cos (x) - 60 x^{2} \sin (x) - 120 x \cos (x) + 120 \sin (x)) + K$