미적분 예제

$x (y^{2} - 1) d y - y (x^{2} - 1) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $y (x^{2} - 1) d x$ 를 더합니다.

$x (y^{2} - 1) d y = y (x^{2} - 1) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y}$ 에 $y^{2} - 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3.4

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

단계 3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

단계 3.5

$\frac{1}{x}$ 에 $x^{2} - 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x} d x$

단계 3.6.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.4

$y$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.6

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.8.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.8.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.9

$- 1 y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.10

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.11

$y^{2} - 1$ 을 $y$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.11.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

단계 4.2.11.2

피제수 $y^{2}$ 의 고차항을 제수 $y$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

단계 4.2.11.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

단계 4.2.11.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $y^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

단계 4.2.11.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

단계 4.2.11.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

단계 4.2.11.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.12

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.13

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.14

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.15

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.2.16

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x} d x$

단계 4.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x} d x$

단계 4.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

단계 4.3.4

$x$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

단계 4.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

단계 4.3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

단계 4.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

단계 4.3.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

단계 4.3.8.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

단계 4.3.8.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x} d x$

단계 4.3.9

$- 1 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 0 - 1}{x} d x$

단계 4.3.10

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

단계 4.3.11

$x^{2} - 1$ 을 $x$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.11.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

단계 4.3.11.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

단계 4.3.11.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

단계 4.3.11.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

단계 4.3.11.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

단계 4.3.11.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

단계 4.3.11.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.12

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.13

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.14

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.15

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - (\ln (| x |) + C_{5})$

단계 4.3.16

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{6}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$