미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - x^{7} e^{y} = 8 e^{y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $x^{7} e^{y}$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = 8 e^{y} + x^{7} e^{y}$

단계 1.2

$8 e^{y} + x^{7} e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$8 e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 8 + x^{7} e^{y}$

단계 1.2.2

$x^{7} e^{y}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 8 + e^{y} x^{7}$

단계 1.2.3

$e^{y} \cdot 8 + e^{y} x^{7}$ 에서 $e^{y}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} (8 + x^{7})$

단계 1.3

양변에 $\frac{1}{e^{y}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (8 + x^{7}))$

단계 1.4

$e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (8 + x^{7}))$

단계 1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 8 + x^{7}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (8 + x^{7}) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$e^{y}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.1.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1.2.1

${(e^{y})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.1.2.1.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.1.2.1.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\int 1 e^{- y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.1.2.2

$e^{- y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{- y} d y = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.2

먼저 $u = - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d y$ 이므로 $- d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.2.2.1

$u = - y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 2.2.2.1.1

$- y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.2.2.1.2

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 2.2.2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - e^{u} d u = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int e^{u} d u = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.4

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$- e^{u} + C_{1} = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.2.6

$u$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$- e^{- y} + C_{1} = \int 8 + x^{7} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- e^{- y} + C_{1} = \int 8 d x + \int x^{7} d x$

단계 2.3.2

상수 규칙을 적용합니다.

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + C_{2} + \int x^{7} d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{7}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} x^{8}$ 가 됩니다.

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + C_{2} + \frac{1}{8} x^{8} + C_{3}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$- e^{- y} + C_{1} = 8 x + \frac{1}{8} x^{8} + C_{4}$

단계 2.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- e^{- y} = \frac{1}{8} x^{8} + 8 x + K$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.2.2

$e^{- y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$\frac{\frac{1}{8} x^{8}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{8} x^{8}) + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.2

$- 1 \cdot (\frac{1}{8} x^{8})$ 을 $- (\frac{1}{8} x^{8})$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- y} = - (\frac{1}{8} x^{8}) + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.3

$\frac{1}{8}$ 와 $x^{8}$ 을 묶습니다.

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.4

$\frac{8 x}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 1 \cdot (8 x) + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.5

$- 1 \cdot (8 x)$ 을 $- (8 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - (8 x) + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.6

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x + \frac{K}{- 1}$

단계 3.1.3.1.7

$\frac{K}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x - 1 \cdot K$

단계 3.1.3.1.8

$- 1 \cdot K$ 을 $- K$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- y} = - \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K$

단계 3.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

단계 3.3

왼편을 확장합니다.

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단계 3.3.1

$- y$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- y})$ 을 전개합니다.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

단계 3.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

단계 3.4

$- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- y = \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

단계 3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

단계 3.4.2.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$

단계 3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$\frac{\ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

단계 3.4.3.2

$- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ 을 $- \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x - K)$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \ln (- \frac{x^{8}}{8} - 8 x + K)$