미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x^{2} - 1} y = 0$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{4}{x^{2} - 1}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{4}{x^{2} - 1} d x}$

단계 1.2

$\frac{4}{x^{2} - 1}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{4 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

단계 1.2.2

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

단계 1.2.2.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 1.2.2.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 1}$

단계 1.2.2.1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x + 1) (x - 1)$ 입니다.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.5

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.6

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.7.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.7.1.2

$(A) (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.7.3

$A$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.7.4

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.7.5

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.7.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

단계 1.2.2.1.7.5.2

$(B) (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

단계 1.2.2.1.7.6

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

단계 1.2.2.1.7.7

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A x - A + B x + B$

단계 1.2.2.1.8

$- A$ 를 옮깁니다.

$1 = A x + B x - A + B$

단계 1.2.2.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 1.2.2.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = - 1 A + B$

단계 1.2.2.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

단계 1.2.2.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1.1

$A + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

단계 1.2.2.3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

단계 1.2.2.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.2.1

$1 = - 1 A + B$ 의 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

단계 1.2.2.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.2.2.1

$- 1 (- B) + B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.2.2.1.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

단계 1.2.2.3.2.2.1.1.2

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

단계 1.2.2.3.2.2.1.2

$B$ 를 $B$ 에 더합니다.

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

단계 1.2.2.3.3

$1 = 2 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.3.1

$2 B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 B = 1$

$A = - B$

단계 1.2.2.3.3.2

$2 B = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.3.2.1

$2 B = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

단계 1.2.2.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.3.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

단계 1.2.2.3.3.2.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

단계 1.2.2.3.4

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $\frac{1}{2}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.4.1

$A = - B$ 의 $B$ 를 모두 $\frac{1}{2}$ 로 바꿉니다.

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

단계 1.2.2.3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.4.2.1

$- 1$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

단계 1.2.2.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

단계 1.2.2.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

단계 1.2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

단계 1.2.2.5.2

$\frac{1}{x + 1}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

단계 1.2.2.5.3

$x + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

단계 1.2.2.5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

단계 1.2.2.5.5

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$e^{4 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

단계 1.2.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$e^{4 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

단계 1.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{4 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

단계 1.2.5

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{4 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

단계 1.2.6

먼저 $u_{1} = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$u_{1} = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.2.6.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.2.6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.2.6.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.2.6.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2.6.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{4 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

단계 1.2.7

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

단계 1.2.8

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

단계 1.2.9

먼저 $u_{2} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1

$u_{2} = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.9.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2.9.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.2.9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.2.9.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.2.9.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2.9.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

단계 1.2.10

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$e^{4 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

단계 1.2.11

간단히 합니다.

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

단계 1.2.12

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.12.1

$u_{1}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

단계 1.2.12.2

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$e^{4 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

단계 1.2.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.13.1.1

$\ln (| x + 1 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

단계 1.2.13.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| x - 1 |)$ 을 묶습니다.

$e^{4 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

단계 1.2.13.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{4 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

단계 1.2.13.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.13.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{2 (2) \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

단계 1.2.13.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{2 \cdot 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

단계 1.2.13.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)) + C}$

단계 1.2.13.4

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

단계 1.2.13.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 2 \ln (x + 1) + 2 \ln (x - 1)}$

단계 1.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2}) + \ln ({(x - 1)}^{2})}$

단계 1.5

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2})}$

단계 1.6

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

${(x + 1)}^{- 2} {(x - 1)}^{2}$

단계 1.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$

단계 1.8

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ((x - 1) (x - 1))$

단계 1.9

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

단계 1.9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

단계 1.9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

단계 1.10

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

단계 1.10.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

단계 1.10.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

단계 1.10.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

단계 1.10.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - x - x + 1)$

단계 1.10.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x^{2} - 2 x + 1)$

단계 1.11

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 에 $x^{2} - 2 x + 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.12

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.12.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.12.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 1.12.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 1.12.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.2.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{4}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.3

$\frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.4

조합합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{2} ((x + 1) (x - 1))} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.5

지수를 더하여 ${(x + 1)}^{2}$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.5.1

$x + 1$ 를 옮깁니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.5.2

$x + 1$ 에 ${(x + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.5.2.1

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{1 + 2} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2} (4 y)}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.6

${(x - 1)}^{2}$ 및 $x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.1

${(x - 1)}^{2} (4 y)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{{(x + 1)}^{3} (x - 1)} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.6.2.1

${(x + 1)}^{3} (x - 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) ((x - 1) (4 y))}{(x - 1) {(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.2.7

$x - 1$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(x + 1)}^{3}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.4.1

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ 에 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (x + 1)} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.4.2

지수를 더하여 ${(x + 1)}^{2}$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.1

${(x + 1)}^{2}$ 에 $x + 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.1.1

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2 + 1}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.4.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 (x - 1) y$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.6.1.1

${(x - 1)}^{2} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + 4 (x - 1) y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.1.2

$4 (x - 1) y$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.1.3

$(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)) + (x - 1) (4 y)$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) ((x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.3

$- 1 \frac{d y}{d x}$ 을 $- \frac{d y}{d x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - 1) ((x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.6.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - 1) (x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.5.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.6.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.5.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.5.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.5.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.5.2

$x \frac{d y}{d x}$ 에서 $\frac{d y}{d x} x$ 을 뺍니다.

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단계 2.6.5.2.1

$\frac{d y}{d x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.5.2.2

$x \frac{d y}{d x}$ 에서 $x \frac{d y}{d x}$ 을 뺍니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.6.5.3

$x^{2} \frac{d y}{d x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot 0$

단계 2.7

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 4 y)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] = 0$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int 0 d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = \int 0 d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = 0 + C$

단계 6.2

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y = C$

단계 7

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} y$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}} = C$

단계 7.1.2

$\frac{{(x - 1)}^{2} y}{{(x + 1)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = C$

단계 7.2

양변에 ${(x + 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

단계 7.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

단계 7.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$

단계 7.4

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ 의 각 항을 ${(x - 1)}^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$y {(x - 1)}^{2} = C {(x + 1)}^{2}$ 의 각 항을 ${(x - 1)}^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 7.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

${(x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 7.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{C {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$