미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x y^{2}$ , $y (0) = 5$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int x d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 2, 1$

단계 3.2.2

$y, 2, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $1, 2, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 3.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.5

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 3.2.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.7

$1, 2, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2$

단계 3.2.8

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 3.2.9

$y^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y$

단계 3.2.10

$y, 2, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $2$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$2 y$

단계 3.3

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$ 의 각 항에 $2 y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} + K$ 의 각 항에 $2 y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} (2 y) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2.1.2

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 y) + K (2 y)$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} y + K (2 y)$

단계 3.3.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} y + K (2 y)$

단계 3.3.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 2 = x^{2} y + K (2 y)$

단계 3.3.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 = x^{2} y + 2 K y$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x^{2} y + 2 K y = - 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{2} y + 2 K y = - 2$

단계 3.4.2

$x^{2} y + 2 K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y x^{2} + 2 K y = - 2$

단계 3.4.2.2

$2 K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y x^{2} + y (2 K) = - 2$

단계 3.4.2.3

$y x^{2} + y (2 K)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (x^{2} + 2 K) = - 2$

단계 3.4.3

$y (x^{2} + 2 K) = - 2$ 의 각 항을 $x^{2} + 2 K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y (x^{2} + 2 K) = - 2$ 의 각 항을 $x^{2} + 2 K$ 로 나눕니다.

$\frac{y (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$x^{2} + 2 K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

단계 3.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{2}{x^{2} + K}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{2}{x^{2} + K}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $5$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$5 = - \frac{2}{0^{2} + K}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- \frac{2}{0^{2} + K} = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{0^{2} + K} = 5$

단계 6.2

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{2}{0 + K} = 5$

단계 6.2.2

$0$ 를 $K$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{K} = 5$

단계 6.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$K, 1$

단계 6.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$K$

단계 6.4

$- \frac{2}{K} = 5$ 의 각 항에 $K$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- \frac{2}{K} = 5$ 의 각 항에 $K$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{K} K = 5 K$

단계 6.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

$- \frac{2}{K}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 2}{K} K = 5 K$

단계 6.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2}{K} K = 5 K$

단계 6.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 = 5 K$

단계 6.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$5 K = - 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5 K = - 2$

단계 6.5.2

$5 K = - 2$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$5 K = - 2$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 K}{5} = \frac{- 2}{5}$

단계 6.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 K}{5} = \frac{- 2}{5}$

단계 6.5.2.2.1.2

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$K = \frac{- 2}{5}$

단계 6.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$K = - \frac{2}{5}$

단계 7

$y = - \frac{2}{x^{2} + K}$ 의 $K$ 에 $- \frac{2}{5}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $- \frac{2}{5}$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{2}{x^{2} - \frac{2}{5}}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{2}{x^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{5}}$

단계 7.2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{2}{\frac{x^{2} \cdot 5}{5} - \frac{2}{5}}$

단계 7.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{2}{\frac{x^{2} \cdot 5 - 2}{5}}$

단계 7.2.4

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$y = - \frac{2}{\frac{5 x^{2} - 2}{5}}$

단계 7.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - (2 \frac{5}{5 x^{2} - 2})$

단계 7.4

$2 \frac{5}{5 x^{2} - 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$2$ 와 $\frac{5}{5 x^{2} - 2}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{2 \cdot 5}{5 x^{2} - 2}$

단계 7.4.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{10}{5 x^{2} - 2}$