미적분 예제

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$ 에서 $3 x^{4}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$3 x^{4} y^{6}$ 에서 $3 x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) - 6 x^{4}$

단계 1.1.2

$- 6 x^{4}$ 에서 $3 x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$

단계 1.1.3

$3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$ 에서 $3 x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6} - 2)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y^{6} - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{6} - 2} (3 x^{4} (y^{6} - 2))$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 \frac{1}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

단계 1.3.2

$3$ 와 $\frac{1}{y^{6} - 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

단계 1.3.3

$y^{6} - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$x^{4} (y^{6} - 2)$ 에서 $y^{6} - 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

단계 1.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

단계 1.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 x^{4}$

단계 1.4

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4}$

단계 1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = 3 x^{4} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{y^{6} - 2}$ 와 $y^{5}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{y^{5}}{y^{6} - 2} d y = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.2.2

먼저 $u = y^{6} - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 6 y^{5} d y$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = y^{5} d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = y^{6} - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$y^{6} - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{6} - 2]$

단계 2.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $y^{6} - 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

단계 2.2.2.1.3

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 y^{5} + \frac{d}{d y} [- 2]$

단계 2.2.2.1.4

$- 2$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$6 y^{5} + 0$

단계 2.2.2.1.5

$6 y^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 y^{5}$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.2.3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $y^{6} - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 \int x^{4} d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ 을 $3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

$3$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \frac{3}{5} x^{5} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{3}{5} x^{5} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $6$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |)) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ 와 $\ln (| y^{6} - 2 |)$ 을 묶습니다.

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

단계 3.2.1.1.2

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{3}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3 x^{5}}{5} + C)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 \frac{3 x^{5}}{5} + 6 C$

단계 3.2.2.1.3

$6 \frac{3 x^{5}}{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$6$ 와 $\frac{3 x^{5}}{5}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{6 (3 x^{5})}{5} + 6 C$

단계 3.2.2.1.3.2

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y^{6} - 2 |)} = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} = | y^{6} - 2 |$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

단계 3.5.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y^{6} - 2 = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

단계 3.5.3

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$y^{6} = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2$

단계 3.5.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C} + 2}$

단계 4.2

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C}$ 을 $e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C} + 2}$

단계 4.3

$e^{\frac{18 x^{5}}{5}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{C} e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

단계 4.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = \pm \sqrt[6]{C e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$