미적분 예제

$y (2 x y^{2} - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y^{2} - 3)]$

단계 1.2

$f (y) = y$ , $g (y) = 2 x y^{2} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3] + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $2 x y^{2} - 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x y^{2}$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.5

$- 3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + 0) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.6

$4 x y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.4

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \cdot 1$

단계 1.9

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.9.1

$2 x y^{2} - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 2 x y^{2} - 3$

단계 1.9.2

$4 x y^{2}$ 를 $2 x y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 3$

단계 1.9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 3$

단계 2

$N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$3 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2} y^{2}$ 의 미분은 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.4.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + \frac{d}{d x} [4 y]$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$4 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + 0$

단계 2.5.2

$6 y^{2} x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $6 y^{2} x - 3$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $6 y^{2} x - 3$ 을 대입합니다.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int y (2 x y^{2} - 3) d x$

단계 5

$M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y \int 2 x y^{2} - 3 d x$

단계 5.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = y (\int 2 x y^{2} d x + \int - 3 d x)$

단계 5.3

$2 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2 y^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = y (2 y^{2} \int x d x + \int - 3 d x)$

단계 5.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x)$

단계 5.5

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C)$

단계 5.6

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C)$

단계 5.7

간단히 합니다.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$f (y) = y$ , $g (y) = y^{2} x^{2} - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2} - 3 x] + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $y^{2} x^{2} - 3 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$y (\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.3

$x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{2} x^{2}$ 의 미분은 $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$y (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.5

$- 3 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 3 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 3 x$ 입니다.

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.7

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y (2 \cdot x^{2} y + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.8

$2 x^{2} y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y (2 x^{2} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.9

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{2} (y^{1} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.10

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{2} y^{2} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.13

$y^{2} x^{2} - 3 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.14

$2 x^{2} y^{2}$ 를 $y^{2} x^{2}$ 에 더합니다.

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단계 8.3.14.1

$y^{2}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.3.14.2

$2 x^{2} y^{2}$ 를 $x^{2} y^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2} y^{2}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2}$

단계 9.1.2

방정식의 양변에 $3 x$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$

단계 9.1.3

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.3.1

$3 x^{2} y^{2}$ 에서 $3 x^{2} y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 0 + 3 x$

단계 9.1.3.2

$- 3 x + 4 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 3 x$

단계 9.1.3.3

$- 3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

단계 9.1.3.4

$4 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

단계 10

$4 y$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = 4 y$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 4 y d y$

단계 10.3

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = 4 \int y d y$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 10.5

답을 간단히 합니다.

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단계 10.5.1

$4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

단계 10.5.2

간단히 합니다.

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단계 10.5.2.1

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

단계 10.5.2.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.2.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

단계 10.5.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$g (y) = 2 y^{2} + C$

단계 11

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + 2 y^{2} + C$

단계 12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2}) + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

단계 12.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 12.2.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$f (x, y) = y^{2} y x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

단계 12.2.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 12.2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (x, y) = y^{2} y^{1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

단계 12.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (x, y) = y^{2 + 1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

단계 12.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

단계 12.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} - 3 y x + 2 y^{2} + C$