미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = x$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int x d x}$

단계 1.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

단계 1.4

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

단계 2.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

먼저 $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = x d x$ 이므로 $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1.1

$u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 6.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6.1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (2 x)$

단계 6.1.1.4

항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1.4.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} x$

단계 6.1.1.4.2

$\frac{2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2}$

단계 6.1.1.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2}$

단계 6.1.1.4.3.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x$

단계 6.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.2

$u = e^{u_{1}}$ 이고 $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.3.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.3.4

$\frac{1}{3}$ 와 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.3.5

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

단계 6.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

단계 6.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

단계 6.5.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.5.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

단계 6.5.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

단계 6.5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

단계 6.5.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

단계 6.5.4

$\frac{1}{3}$ 와 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

단계 6.6

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

단계 6.7

간단히 합니다.

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단계 6.7.1

$\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ 을 $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 6.7.2

간단히 합니다.

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단계 6.7.2.1

$\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 에서 $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 뺍니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

단계 6.7.2.2

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

단계 7

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ 의 각 항을 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ 의 각 항을 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 8

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

단계 9

분자가 0과 같게 만듭니다.

$C = 0$

단계 10

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ 의 $C$ 에 $0$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$C$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

단계 10.2

$0$ 을 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 나눕니다.

$y = 0$