미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = e^{x} x^{3}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$- \frac{3 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = e^{x} x^{3}$

단계 1.2

$y$ 와 $- \frac{3}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = e^{x} x^{3}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - \frac{3}{x}$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

단계 2.2

$- \frac{3}{x}$ 를 적분합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

단계 2.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 2.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 3 \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 3}$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{3}}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

단계 3.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

단계 3.2.3

$\frac{3}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

단계 3.2.4

$- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$\frac{3 y}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

단계 3.2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.4.2.1

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

단계 3.2.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

단계 3.2.4.2.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (e^{x} x^{3})$

단계 3.3

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1

$e^{x} x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} e^{x})$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} e^{x})$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = e^{x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = e^{x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int e^{x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int e^{x} d x$

단계 7

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{3}} y = e^{x} + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y}{x^{3}} = e^{x} + C$

단계 8.2

양변에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (e^{x} + C) x^{3}$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (e^{x} + C) x^{3}$

단계 8.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (e^{x} + C) x^{3}$

단계 8.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$(e^{x} + C) x^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = e^{x} x^{3} + C x^{3}$

단계 8.3.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1.2.1

$e^{x} x^{3} + C x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = x^{3} e^{x} + C x^{3}$

단계 8.3.2.1.2.2

$x^{3} e^{x}$ 와 $C x^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = C x^{3} + x^{3} e^{x}$