미적분 예제

$4 (y d) x + 3 x d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $4 y d x$ 를 뺍니다.

$3 x d y = - 4 y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

단계 3.2

$3$ 와 $\frac{1}{x y}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

단계 3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 4 y) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = - 4 \frac{1}{x y} y d x$

단계 3.5

$- 4$ 와 $\frac{1}{x y}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x y} y d x$

단계 3.6

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{y x} y d x$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 4}{x} d x$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{4}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4}{x} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{4}{x} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4}{x} d x$

단계 4.3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{x} d x)$

단계 4.3.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.5

간단히 합니다.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 4 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$3 \ln (| y |) = - 4 \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |) = C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$3 \ln (| y |) + 4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = C$

단계 5.2.1.1.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $4 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = C$

단계 5.2.1.1.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{4}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{4}) = C$

단계 5.2.1.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln ({| y |}^{3} x^{4}) = C$

단계 5.2.1.3

$\ln ({| y |}^{3} x^{4})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x^{4} {| y |}^{3})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x^{4} {| y |}^{3}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = x^{4} {| y |}^{3}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$

단계 5.5.2

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ 의 각 항을 $x^{4}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$x^{4} {| y |}^{3} = e^{C}$ 의 각 항을 $x^{4}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

$x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{4} {| y |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

단계 5.5.2.2.1.2

${| y |}^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{4}}$

단계 5.5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$

단계 5.5.4

$\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{4}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

$\frac{e^{C}}{x^{4}}$ 을 ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1.1

$e^{C}$ 에서 완전제곱인 $1^{3}$ 인수를 묶습니다.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{4}}}$

단계 5.5.4.1.2

$x^{4}$ 에서 완전제곱인 $x^{3}$ 인수를 묶습니다.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}}$

단계 5.5.4.1.3

분수 $\frac{1^{3} e^{C}}{x^{3} x}$ 를 다시 정렬합니다.

$| y | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{C}}{x}}$

단계 5.5.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| y | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$

단계 5.5.4.3

$\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x}}$ 을 $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$| y | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x}}$

단계 5.5.4.4

조합합니다.

$| y | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

단계 5.5.4.5

$\sqrt[3]{e^{C}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

단계 5.5.4.6

$\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 5.5.4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.7.1

$\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

단계 5.5.4.7.2

$\sqrt[3]{x}$ 를 옮깁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

단계 5.5.4.7.3

$\sqrt[3]{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

단계 5.5.4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

단계 5.5.4.7.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

단계 5.5.4.7.6

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

단계 5.5.4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

단계 5.5.4.7.6.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

단계 5.5.4.7.6.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

단계 5.5.4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

단계 5.5.4.7.6.5

간단히 합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

단계 5.5.4.8

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.9

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 을 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.10

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$

단계 5.5.4.11

$\frac{\sqrt[3]{e^{C} x^{2}}}{x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

단계 5.5.5

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{x^{2}}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}}$