미적분 예제

Solve the differential equation: $x \frac{d y}{d x} + y = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

단계 1

방정식 좌변이 $x y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y \cdot 1$

단계 1.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

단계 1.5

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

단계 1.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$x y = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

$u = x^{2} + 3 x$ 이고 $d v = e^{\frac{2}{3} x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

단계 5.2.2

$\frac{3}{2}$ 와 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

단계 5.3

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x)$

단계 5.4

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) d x$

단계 5.5

$u = 2 x + 3$ 이고 $d v = e^{\frac{2 x}{3}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

단계 5.6

간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

단계 5.6.2

$\frac{3}{2}$ 와 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

단계 5.6.3

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2 d x)$

단계 5.6.4

$\frac{3}{2}$ 와 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 d x)$

단계 5.6.5

$\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2}{2} d x)$

단계 5.6.6

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} d x)$

단계 5.6.7

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.7.1

$6 e^{\frac{2 x}{3}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} d x)$

단계 5.6.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} d x)$

단계 5.6.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} d x)$

단계 5.6.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} d x)$

단계 5.6.7.2.4

$3 e^{\frac{2 x}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int 3 e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

단계 5.7

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x))$

단계 5.8

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

단계 5.9

먼저 $u = \frac{2 x}{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{2}{3} d x$ 이므로 $\frac{3}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.9.1

$u = \frac{2 x}{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.9.1.1

$\frac{2 x}{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

단계 5.9.1.2

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{3}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 1$

단계 5.9.1.4

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3}$

단계 5.9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u)$

단계 5.10

간단히 합니다.

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단계 5.10.1

$\frac{2}{3}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u)$

단계 5.10.2

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{3}{2} d u)$

단계 5.10.3

$e^{u}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u)$

단계 5.10.4

$e^{u}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{3 e^{u}}{2} d u)$

단계 5.11

$\frac{3}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 (\frac{3}{2} \int e^{u} d u))$

단계 5.12

간단히 합니다.

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단계 5.12.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u)$

단계 5.12.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} \int e^{u} d u)$

단계 5.12.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} \int e^{u} d u)$

단계 5.13

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$

단계 5.14

간단히 합니다.

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단계 5.14.1

$(x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$ 을 $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$

단계 5.14.2

간단히 합니다.

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단계 5.14.2.1

$e^{u}$ 와 $\frac{9}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{e^{u} \cdot 9}{2}) + C$

단계 5.14.2.2

$e^{u}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 \cdot e^{u}}{2}) + C$

단계 5.14.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

단계 5.14.2.4

$(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} (\frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

단계 5.14.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.6

$2$ 와 $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.7

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.8

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.14.2.8.1

$6 e^{\frac{2 x}{3}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.14.2.8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.8.2.4

$3 e^{\frac{2 x}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) (3 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.9

$2 x + 3$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \cdot (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2} + C$

단계 5.14.2.10

$\frac{3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2}$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + C$

단계 5.14.2.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{4} + C$

단계 5.14.2.12

$3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3 \cdot (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

단계 5.14.2.13

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

단계 5.14.2.14

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.14.2.14.1

$\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

단계 5.14.2.14.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{4} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

단계 5.14.2.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2 - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

단계 5.14.2.16

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

단계 5.15

$u$ 를 모두 $\frac{2 x}{3}$ 로 바꿉니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

단계 5.16

간단히 합니다.

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단계 5.16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

단계 5.16.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

단계 5.16.3

$- 9$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

단계 5.16.4

$- 9 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

단계 5.17

항을 다시 정렬합니다.

$x y = \frac{9}{2} x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{1}{4} (x^{2} (6 e^{\frac{2}{3} x}) - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

단계 6

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2}{3} x} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

단계 6.1.1.2

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

단계 6.1.1.3

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

단계 6.1.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

단계 6.1.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

단계 6.1.1.6

$3$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

단계 6.1.1.7

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

단계 6.1.1.8

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}) + C$

단계 6.1.2

$6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.2.1

$- 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ 를 $27 e^{\frac{2 x}{3}}$ 에 더합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x + 0) + C$

단계 6.1.2.2

$6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.4.2

$6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2} (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.5

$3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3}{2} (x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.6

$x^{2}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.7

$\frac{x^{2} \cdot 3}{2}$ 와 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.8.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.8.2

$- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

단계 6.1.8.3

공약수로 약분합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

단계 6.1.8.4

수식을 다시 씁니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.9

$- 9$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} (e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

단계 6.1.10

$e^{\frac{2 x}{3}}$ 와 $\frac{- 9}{2}$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2} x + C$

단계 6.1.11

$\frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

단계 6.1.12

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.12.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 \cdot x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

단계 6.1.12.2

$e^{\frac{2 x}{3}}$ 의 왼쪽으로 $- 9$ 이동하기

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9 \cdot e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

단계 6.1.12.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

단계 6.1.13

$\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

단계 6.1.14

괄호를 제거합니다.

$x y = \frac{9}{2} \cdot x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

단계 6.2

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

단계 6.2.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

단계 6.2.3.1.2.2

$\frac{9}{2} (x e^{\frac{2 x}{3}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.2.2.1

$x$ 와 $\frac{9}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x \cdot 9}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

단계 6.2.3.1.2.2.2

$\frac{x \cdot 9}{2}$ 와 $e^{\frac{2 x}{3}}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x \cdot 9 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

단계 6.2.3.1.2.3

$x$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$y = \frac{\frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

단계 6.2.3.1.3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{C + \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

단계 6.2.3.1.3.2

$9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1.3.2.1

$9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ 에서 $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ 을 뺍니다.

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} + 0}{2}}{x}$

단계 6.2.3.1.3.2.2

$3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

단계 6.2.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $C$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

단계 6.2.3.2.2

$C$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

단계 6.2.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

단계 6.2.3.2.4

$C$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

단계 6.2.3.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.2.3.4

$\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2 x}$