미적분 예제

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 2$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = 3$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 3 d t}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{3 t + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{3 t}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{3 t}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{3 t}$ 을 곱합니다.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} \cdot 2$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} \cdot 2$

단계 2.3

$e^{3 t}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 2 \cdot e^{3 t}$

단계 2.4

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 2 e^{3 t}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 2 e^{3 t}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 2 e^{3 t}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 2 e^{3 t} d t$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{3 t} y = \int 2 e^{3 t} d t$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 t} y = 2 \int e^{3 t} d t$

단계 6.2

먼저 $u = 3 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d t$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.2.1

$u = 3 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 6.2.1.1

$3 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [3 t]$

단계 6.2.1.2

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 6.2.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 6.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{3 t} y = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

단계 6.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$e^{3 t} y = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

단계 6.4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{3 t} y = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

단계 6.5

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

단계 6.6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} (e^{u} + C)$

단계 6.7

간단히 합니다.

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} e^{u} + C$

단계 6.8

$u$ 를 모두 $3 t$ 로 바꿉니다.

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} e^{3 t} + C$

단계 7

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} e^{3 t} + C$ 의 각 항을 $e^{3 t}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{3 t} y = \frac{2}{3} e^{3 t} + C$ 의 각 항을 $e^{3 t}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{2}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{3 t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{2}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{2}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$e^{3 t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{2}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

단계 7.3.1.2

$\frac{2}{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{2}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$