미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{2} + 1$ 을 곱합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

단계 1.2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

단계 1.2.2

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

단계 1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

단계 1.2.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

단계 1.2.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

단계 1.2.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.2.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.2.4.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.2.4.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

단계 1.2.4.1.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

단계 1.2.4.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

단계 1.2.4.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

단계 1.2.4.3

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$