미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 1.2

식을 다시 씁니다.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ 이므로 $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.2.1

$u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.2.1.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

단계 2.3.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- \frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.3.2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.3.2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- \frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.3.2.1.3

미분합니다.

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단계 2.3.2.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.2.1.3.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

단계 2.3.2.1.3.4

항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1.3.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

단계 2.3.2.1.3.4.2

$- 2$ 와 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

단계 2.3.2.1.3.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

단계 2.3.2.1.3.4.4

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.3.4.4.1

$- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

단계 2.3.2.1.3.4.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.3.4.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

단계 2.3.2.1.3.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

단계 2.3.2.1.3.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

단계 2.3.2.1.3.4.4.2.4

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

단계 2.3.2.1.3.4.5

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2

$u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

단계 2.3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$