미적분 예제

$(x y) d x - (x + 2) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x y d x$ 를 뺍니다.

$- (x + 2) d y = - x y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{(x + 2) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x + 2) y} (- (x + 2)) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

단계 3.2

$x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{(x + 2) y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

단계 3.2.2

$(x + 2) y$ 에서 $x + 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{(x + 2) (y)} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

단계 3.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{(x + 2) y} (x + 2) d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

단계 3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 2) y} (- x y) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 2) y} (x y) d x$

단계 3.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{1}{(x + 2) y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 2) y} (x y) d x$

단계 3.5.2

$(x + 2) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (x y) d x$

단계 3.5.3

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

단계 3.5.4

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 2)} (y x) d x$

단계 3.5.5

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 2} x d x$

단계 3.6

$\frac{- 1}{x + 2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 2} d x$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 2} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 2} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 2} d x$

단계 4.3.2

$x$ 을 $x + 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x$

$0$

단계 4.3.2.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

단계 4.3.2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

단계 4.3.2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x + 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

단계 4.3.2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

단계 4.3.2.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

단계 4.3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

단계 4.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x)$

단계 4.3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x)$

단계 4.3.6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x))$

단계 4.3.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

단계 4.3.8

먼저 $u = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.3.8.1

$u = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.3.8.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 4.3.8.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 4.3.8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 4.3.8.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.3.8.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.3.8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u)$

단계 4.3.9

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}))$

단계 4.3.10

간단히 합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| u |)) + C_{4}$

단계 4.3.11

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (x - 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

단계 4.3.12

간단히 합니다.

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단계 4.3.12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x - (- 2 \ln (| x + 2 |)) + C_{4}$

단계 4.3.12.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| y |) = - x + 2 \ln (| x + 2 |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| y |) - 2 \ln (| x + 2 |) = - x + C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| x + 2 |)$ 을 간단히 합니다.

$- \ln (| y |) - \ln ({| x + 2 |}^{2}) = - x + C$

단계 5.2.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x + 2 |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$- \ln (| y |) - \ln ({(x + 2)}^{2}) = - x + C$

단계 5.3

방정식의 양변에 $\ln ({(x + 2)}^{2})$ 를 더합니다.

$- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$

단계 5.4

$- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$- \ln (| y |) = - x + C + \ln ({(x + 2)}^{2})$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

단계 5.4.2.2

$\ln (| y |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) = \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\ln (| y |) = \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

단계 5.4.3.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) = x + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

단계 5.4.3.1.3

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| y |) = x - 1 \cdot C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

단계 5.4.3.1.4

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) = x - C + \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$

단계 5.4.3.1.5

$\frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| y |) = x - C - 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$

단계 5.4.3.1.6

$- 1 \cdot \ln ({(x + 2)}^{2})$ 을 $- \ln ({(x + 2)}^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) = x - C - \ln ({(x + 2)}^{2})$

단계 5.5

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x - C$

단계 5.6

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$

단계 5.7

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x - C}$

단계 5.8

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{x - C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

단계 5.9

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$

단계 5.9.2

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ 의 각 항을 ${(x + 2)}^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x - C}$ 의 각 항을 ${(x + 2)}^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 5.9.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.2.1

${(x + 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 5.9.2.2.1.2

$| y |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| y | = \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 5.9.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm \frac{e^{x - C}}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 6

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 6.2

$e^{x + C}$ 을 $e^{x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 6.3

$e^{x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

단계 6.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$