미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{9}$

단계 1

베르누이 방법에 맞도록 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{9}$

단계 1.2

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$

단계 2

미분 방정식을 풀려면 $y^{9}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 8}$

단계 3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

단계 4

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

단계 5

$x$ 에 대해 $v^{- \frac{1}{8}}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{- \frac{1}{8}}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

단계 5.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

단계 5.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

단계 5.4.2

${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

단계 5.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

단계 5.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

단계 5.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.4.1

$v^{\frac{1}{8}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.4.4.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.4.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.5

$f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.5.2

$n = \frac{1}{8}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.5.3

$u$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.7

$- 1$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.9.2

$1$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.11

$\frac{1}{8}$ 와 $v^{- \frac{7}{8}}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $v^{- \frac{7}{8}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.13

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.14

$\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ 와 $v'$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.15

$\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

단계 5.16

$\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ 에 $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

단계 5.17

지수를 더하여 $v^{\frac{7}{8}}$ 에 $v^{\frac{1}{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.17.1

$v^{\frac{1}{4}}$ 를 옮깁니다.

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

단계 5.17.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

단계 5.17.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

단계 5.17.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.17.4.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

단계 5.17.4.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

단계 5.17.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

단계 5.17.6

$2$ 를 $7$ 에 더합니다.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

단계 6

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- \frac{1}{8}}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ 의 각 항에 $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ 의 각 항에 $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1

$8 v^{\frac{9}{8}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.2

$- (8 v^{\frac{9}{8}})$ 에서 $8 v^{\frac{9}{8}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} v^{\frac{9}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.5

지수를 더하여 $v^{- \frac{1}{8}}$ 에 $v^{\frac{9}{8}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.5.1

$v^{\frac{9}{8}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.4

$9$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.5

$8$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.6

$- 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.7

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.8

$- 8$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.10

$v$ 와 $\frac{8}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 8}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.2.1.11

$v$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

단계 7.1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

단계 7.1.1.3.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

단계 7.1.1.3.3

${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

단계 7.1.1.3.3.2

$- \frac{1}{8} \cdot 9$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.2.1

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

단계 7.1.1.3.3.2.2

$- 9$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

단계 7.1.1.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

단계 7.1.1.3.4

지수를 더하여 $v^{- \frac{9}{8}}$ 에 $v^{\frac{9}{8}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.4.1

$v^{\frac{9}{8}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

단계 7.1.1.3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

단계 7.1.1.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

단계 7.1.1.3.4.4

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

단계 7.1.1.3.4.5

$0$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

단계 7.1.1.3.5

$- 8 v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8$

단계 7.1.2

$- \frac{8 v}{x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{8}{x}) = - 8$

단계 7.1.3

$v$ 와 $- \frac{8}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = - 8$

단계 7.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - \frac{8}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - \frac{8}{x} d x}$

단계 7.2.2

$- \frac{8}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{8}{x} d x}$

단계 7.2.2.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (8 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 7.2.2.3

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 8 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 8 (\ln (| x |) + C)}$

단계 7.2.2.5

간단히 합니다.

$e^{- 8 \ln (| x |) + C}$

단계 7.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 8 \ln (x)}$

단계 7.2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 8})}$

단계 7.2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 8}$

단계 7.2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{8}}$

단계 7.3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{8}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{8}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

단계 7.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{8}}$ 와 $\frac{d v}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

단계 7.3.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} (\frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

단계 7.3.2.3

$\frac{8}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

단계 7.3.2.4

$- \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.1

$\frac{8 v}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{8}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x \cdot x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

단계 7.3.2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1

$x$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1} x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

단계 7.3.2.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1 + 8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

단계 7.3.2.4.2.2

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

단계 7.3.3

$\frac{1}{x^{8}}$ 와 $- 8$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{- 8}{x^{8}}$

단계 7.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = - \frac{8}{x^{8}}$

단계 7.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] = - \frac{8}{x^{8}}$

단계 7.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] d x = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

단계 7.6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

단계 7.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - \int \frac{8}{x^{8}} d x$

단계 7.7.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - (8 \int \frac{1}{x^{8}} d x)$

단계 7.7.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int \frac{1}{x^{8}} d x$

단계 7.7.3.2

$x^{8}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int {(x^{8})}^{- 1} d x$

단계 7.7.3.3

${(x^{8})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{8 \cdot - 1} d x$

단계 7.7.3.3.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{- 8} d x$

단계 7.7.4

멱의 법칙에 의해 $x^{- 8}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{7} x^{- 7}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7} x^{- 7} + C)$

단계 7.7.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.5.1.1

$x^{- 7}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{x^{- 7}}{7} + C)$

단계 7.7.5.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 7}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}} + C)$

단계 7.7.5.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}}) + C$

단계 7.7.5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.5.3.1

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = 8 \frac{1}{7 x^{7}} + C$

단계 7.7.5.3.2

$8$ 와 $\frac{1}{7 x^{7}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{8}} v = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

단계 7.8

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{8}{7 x^{7}}$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} = C$

단계 7.8.1.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

단계 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{8}}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{v}{x^{8}} - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

단계 7.8.2

$v$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.2.1

방정식의 양변에 $\frac{8}{7 x^{7}}$ 를 더합니다.

$\frac{v}{x^{8}} - C = \frac{8}{7 x^{7}}$

단계 7.8.2.2

방정식의 양변에 $C$ 를 더합니다.

$\frac{v}{x^{8}} = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

단계 7.8.3

양변에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

단계 7.8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.1.1

$x^{8}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

단계 7.8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$v = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

단계 7.8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.2.1

$(\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = \frac{8}{7 x^{7}} x^{8} + C x^{8}$

단계 7.8.4.2.1.2

$x^{7}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.2.1.2.1

$7 x^{7}$ 에서 $x^{7}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} x^{8} + C x^{8}$

단계 7.8.4.2.1.2.2

$x^{8}$ 에서 $x^{7}$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

단계 7.8.4.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

단계 7.8.4.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$v = \frac{8}{7} x + C x^{8}$

단계 7.8.4.2.1.3

$\frac{8}{7}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$v = \frac{8 x}{7} + C x^{8}$

단계 7.8.4.2.1.4

$\frac{8 x}{7}$ 와 $C x^{8}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

단계 8

$v$ 에 $y^{- 8}$ 를 대입합니다.

$y^{- 8} = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$