미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u = 3 x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u = 3 x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$3 x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.1.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 2.3.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.4.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 + 0$

단계 2.3.1.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

단계 2.3.2

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

단계 2.3.3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

단계 2.3.4

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.5.2.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

단계 2.3.6

$u$ 를 모두 $3 x + 2$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

단계 4.2.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

단계 4.2.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

단계 4.2.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

단계 4.2.4.2

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

단계 4.2.4.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

단계 4.2.4.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

단계 4.2.5

$\frac{1}{3}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} + K = 1$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{4}{3}$ 를 뺍니다.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

단계 4.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

단계 4.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

단계 4.3.4

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$K = \frac{- 1}{3}$

단계 4.3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$K = - \frac{1}{3}$

단계 5

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ 의 $K$ 에 $- \frac{1}{3}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- \frac{1}{3}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

단계 5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

이항정리 이용

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.2

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.3

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.5

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.6

$2$ 에 $108$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.7

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.8

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.9

$9$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.11

$4$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.12

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.13

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.14

$8$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.2.15

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.1.2

$81 x^{4}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.1.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.1.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.2

$27$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.3

$\frac{27}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.4

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.4.1

$216 x^{3}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.4.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.5

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.5.1

$216 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.5.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.5.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.6

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.6.1

$96 x$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.6.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.6.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.7

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.7.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.7.2

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.7.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.7.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

단계 5.2.4.8

$\frac{1}{3}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

단계 5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

단계 5.4

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

단계 5.5

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$