미적분 예제

$x e^{x^{2}} d x + (y^{5} - 1) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x e^{x^{2}} d x$ 를 뺍니다.

$(y^{5} - 1) d y = - x e^{x^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{5} - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int y^{5} d y + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{5}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} y^{6}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} + \int - 1 d y = \int - x e^{x^{2}} d x$

단계 2.2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} y^{6} + C_{1} - y + C_{2} = \int - x e^{x^{2}} d x$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = \int - x e^{x^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int x e^{x^{2}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u_{2} = e^{x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.2.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.2.1.1

$e^{x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

단계 2.3.2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2}} (2 x)$

단계 2.3.2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{2}} x$

단계 2.3.2.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{x^{2}}$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \int \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$- (\frac{1}{2} u_{2} + C_{4})$ 을 $- \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} u_{2} + C_{4}$

단계 2.3.4.2

$u_{2}$ 를 모두 $e^{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} y^{6} - y + C_{3} = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{6} y^{6} - y = - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$