미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{2} y - 6 x y$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$8 x^{2} y - 6 x y$ 에서 $2 x y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$8 x^{2} y$ 에서 $2 x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (4 x) - 6 x y$

단계 1.1.2

$- 6 x y$ 에서 $2 x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (4 x) + 2 x y (- 3)$

단계 1.1.3

$2 x y (4 x) + 2 x y (- 3)$ 에서 $2 x y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (4 x - 3)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y (4 x - 3))$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y (4 x - 3))$

단계 1.3.2

$2$ 와 $\frac{1}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y (4 x - 3))$

단계 1.3.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$x y (4 x - 3)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (x (4 x - 3)))$

단계 1.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (x (4 x - 3)))$

단계 1.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x (4 x - 3))$

단계 1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x (4 x) + x \cdot - 3)$

단계 1.3.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (4 x \cdot x + x \cdot - 3)$

단계 1.3.6

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (4 x \cdot x - 3 \cdot x)$

단계 1.3.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (4 (x \cdot x) - 3 \cdot x)$

단계 1.3.7.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (4 x^{2} - 3 \cdot x)$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (4 x^{2} - 3 x)$

단계 1.3.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (4 x^{2}) + 2 (- 3 x)$

단계 1.3.9

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{2} + 2 (- 3 x)$

단계 1.3.10

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{2} - 6 x$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{2} - 6 x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{2} - 6 x d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{2} - 6 x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{2} d x + \int - 6 x d x$

단계 2.3.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{2} d x + \int - 6 x d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 x d x$

단계 2.3.4

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int x d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.1

$8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.2

$- 6$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.3

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.3.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.2.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.6.2.3.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} - 3 x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - 3 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 3 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = - 3 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 3 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$| y | = e^{- 3 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{- 3 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + C}$

단계 3.3.2

$\frac{8}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$| y | = e^{- 3 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + C}$

단계 3.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{- 3 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{- 3 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + C}$ 을 $e^{- 3 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{- 3 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{- 3 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{- 3 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{- 3 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3}}$