미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = 0.04 y + 8000$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{0.04 y + 8000}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

단계 1.2

$0.04 y + 8000$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{0.04 y + 8000} (0.04 y + 8000)$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} \frac{d y}{d t} = 1$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{0.04 y + 8000} d y = 1 d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{0.04 y + 8000} d y = \int d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = 0.04 y + 8000$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 0.04 d y$ 이므로 $\frac{1}{0.04} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = 0.04 y + 8000$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{0.04}{1}$

단계 2.2.1.1.2

$0.04$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0.04$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{25}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.2

$25$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $25$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$25 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

단계 2.2.3

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$25 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

$25 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

단계 2.2.5

$u$ 를 모두 $0.04 y + 8000$ 로 바꿉니다.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = \int d t$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) + C_{1} = t + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ 의 각 항을 $25$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$25 \ln (| 0.04 y + 8000 |) = t + C$ 의 각 항을 $25$ 로 나눕니다.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{25 \ln (| 0.04 y + 8000 |)}{25} = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

단계 3.1.2.1.2

$\ln (| 0.04 y + 8000 |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$

단계 3.2

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| 0.04 y + 8000 |)} = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

단계 3.3

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| 0.04 y + 8000 |) = \frac{t}{25} + \frac{C}{25}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} = | 0.04 y + 8000 |$

단계 3.4

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| 0.04 y + 8000 | = e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

단계 3.4.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$0.04 y + 8000 = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}$

단계 3.4.3

방정식의 양변에서 $8000$ 를 뺍니다.

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$

단계 3.4.4

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ 의 각 항을 $0.04$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$0.04 y = \pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}} - 8000$ 의 각 항을 $0.04$ 로 나눕니다.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1

$0.04$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{0.04 y}{0.04} = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t}{25} + \frac{C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.3.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.3.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04} + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.3.1.3

$0.04$ 에서 $0.04$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{25}})}{0.04 (1)} + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.3.1.4

분수를 나눕니다.

$y = \frac{1}{0.04} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.3.1.5

$1$ 을 $0.04$ 로 나눕니다.

$y = 25 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{25}}}{1} + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.3.1.6

$\pm e^{\frac{t + C}{25}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) + \frac{- 8000}{0.04}$

단계 3.4.4.3.1.7

$- 8000$ 을 $0.04$ 로 나눕니다.

$y = 25 (\pm e^{\frac{t + C}{25}}) - 200000$