미적분 예제

$3 x (y d) x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 3 x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y]$

단계 1.2

$3 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $3 x y$ 의 미분은 $3 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1$

단계 1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x$

단계 2

$N (x, y) = - (3 x^{2} + 9 y^{2})$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x^{2} + 9 y^{2})]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (3 x^{2} + 9 y^{2})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 9 y^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 9 y^{2}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 9 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}])$

단계 2.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}])$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}])$

단계 2.6

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (6 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}])$

단계 2.7

$9 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9 y^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (6 x + 0)$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (6 x)$

단계 2.8.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 6 x$ 을 대입합니다.

$3 x = - 6 x$

단계 3.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$3 x = - 6 x$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 6 x$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 4.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 x$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 x - (3 x)}{M}$

단계 4.3

$M$ 에 $3 x y$ 를 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$M$ 에 $3 x y$ 를 대입합니다.

$\frac{- 6 x - (3 x)}{3 x y}$

단계 4.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$- 6 x - 1 \cdot 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$- 6 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot - 6 - 1 \cdot 3 x}{3 x y}$

단계 4.3.2.1.2

$- 1 \cdot 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot - 6 + x (- 1 \cdot 3)}{3 x y}$

단계 4.3.2.1.3

$x \cdot - 6 + x (- 1 \cdot 3)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 6 - 1 \cdot 3)}{3 x y}$

단계 4.3.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x (- 6 - 3)}{3 x y}$

단계 4.3.2.3

$- 6$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{x \cdot - 9}{3 x y}$

단계 4.3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot - 9}{3 x y}$

단계 4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 9}{3 y}$

단계 4.3.4

$- 9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 y}$

단계 4.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.2.1

$3 y$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 (y)}$

단계 4.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 y}$

단계 4.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3}{y}$

단계 4.3.5

$M$ 에 $3 x y$ 를 대입합니다.

$- \frac{3}{y}$

단계 4.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

단계 5

적분 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

단계 5.2

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 5.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

단계 5.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$- 3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

단계 5.6.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

단계 5.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

단계 6

$3 x y d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{3}}$ 를 곱합니다.

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단계 6.1

$3 x y$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$3 x y \frac{1}{y^{3}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 6.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

$3 x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (3 x) \frac{1}{y^{3}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 6.2.2

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (3 x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 6.2.3

공약수로 약분합니다.

$y (3 x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$3 x \frac{1}{y^{2}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 6.3

$3$ 와 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{3}{y^{2}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 6.4

$x$ 와 $\frac{3}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 3}{y^{2}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 6.5

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 x}{y^{2}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) d y = 0$

단계 6.6

$- (3 x^{2} + 9 y^{2})$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x - (3 x^{2} + 9 y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + (- (3 x^{2}) - (9 y^{2})) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.8

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + (- 3 x^{2} - (9 y^{2})) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.9

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + (- 3 x^{2} - 9 y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.10

$- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ 에 $\frac{1}{y^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + \frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.11

$- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.11.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + \frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.11.2

$- 9 y^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + \frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.11.3

$3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + \frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.12

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + \frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.13

$- 3 y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + \frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.14

$- (x^{2}) - (3 y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + \frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.15

$- (x^{2} + 3 y^{2})$ 을 $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x + \frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{y^{3}} d y = 0$

단계 6.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3 x}{y^{2}} d x - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

단계 7

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{3 x}{y^{2}} d x$

단계 8

$M (x, y) = \frac{3 x}{y^{2}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 8.1

$\frac{3}{y^{2}}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{y^{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{3}{y^{2}} \int x d x$

단계 8.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{3}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 8.3

답을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$\frac{3}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $\frac{3}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \frac{3}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 8.3.2

간단히 합니다.

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단계 8.3.2.1

$\frac{3}{y^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{3}{y^{2} \cdot 2} x^{2} + C$

단계 8.3.2.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{3}{2 \cdot y^{2}} x^{2} + C$

단계 8.3.2.3

$2$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{3}{2 y^{2}} x^{2} + C$

단계 8.3.2.4

$\frac{3}{2 y^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{2 y^{2}} + C$

단계 9

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

단계 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 11.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{3 x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.2

합의 법칙에 의해 $\frac{3 x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{3 x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{3 x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{3 x^{2}}{2 y^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 11.3.1

$\frac{3 x^{2}}{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{3 x^{2}}{2 y^{2}}$ 의 미분은 $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ 입니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ 을 ${(y^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.3.3

$u$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.5

${(y^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.7

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.10

$- 2$ 와 $\frac{3 x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 (3 x^{2})}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.11

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.12

$\frac{- 6 x^{2}}{2}$ 와 $y^{- 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 6 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.14

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.14.1

$- 6 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3 x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.14.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.14.2.1

$2 y^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3 x^{2})}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 3 x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.3.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$- \frac{3 x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 11.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{2}}{y^{3}} = - \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$

단계 12

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.1

방정식의 양변에 $\frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{2}}{y^{3}} + \frac{3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 3 y^{2})}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2})}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.1.3.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9 y^{2}}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.1.4

$- 3 x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 9 y^{2}}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.1.5

$0$ 를 $9 y^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{9 y^{2}}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.1.6

$y^{2}$ 및 $y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.6.1

$9 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 9}{y^{3}} = 0$

단계 12.1.1.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1.6.2.1

$y^{3}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 9}{y^{2} y} = 0$

단계 12.1.1.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 9}{y^{2} y} = 0$

단계 12.1.1.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{9}{y} = 0$

단계 12.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{9}{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{9}{y}$

단계 13

$- \frac{9}{y}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y} = - \frac{9}{y}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{9}{y} d y$

단계 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - \frac{9}{y} d y$

단계 13.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - \int \frac{9}{y} d y$

단계 13.4

$9$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - (9 \int \frac{1}{y} d y)$

단계 13.5

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - 9 \int \frac{1}{y} d y$

단계 13.6

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$g (y) = - 9 (\ln (| y |) + C)$

단계 13.7

간단히 합니다.

$g (y) = - 9 \ln (| y |) + C$

단계 14

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{2 y^{2}} - 9 \ln (| y |) + C$

단계 15

$9$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 9 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{3 x^{2}}{2 y^{2}} - \ln ({| y |}^{9}) + C$