미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

단계 1

$V = \frac{y}{t}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{t}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

단계 2

$V = \frac{y}{t}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V t$

단계 3

곱의 미분 법칙을 사용해 $t$ 에 대하여 $y = V t$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

단계 4

$\frac{d y}{d t}$ 에 $t \frac{d V}{d t} + V$ 를 대입합니다.

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

단계 5

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{d V}{d t}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$\frac{d V}{d t}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

단계 5.1.1.1.2

$- V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

단계 5.1.1.2

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ 의 각 항을 $t$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.1

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ 의 각 항을 $t$ 로 나눕니다.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

단계 5.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.2.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

단계 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d t}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

단계 5.1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

단계 5.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

단계 5.1.2.2

$- 2 V + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.2.1

$- 2 V$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

단계 5.1.2.2.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

단계 5.1.2.2.3

$2 (- V) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

단계 5.1.3

양변에 $\frac{1}{- V + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

단계 5.1.4

$- V + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$2 (- V + 1)$ 에서 $- V + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

단계 5.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

단계 5.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

단계 5.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

단계 5.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

단계 5.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

먼저 $u = - V + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d V$ 이므로 $- d u = d V$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$u = - V + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d V}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 5.2.2.1.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 5.2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

단계 5.2.2.2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

단계 5.2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

단계 5.2.2.4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

단계 5.2.2.5

간단히 합니다.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

단계 5.2.2.6

$u$ 를 모두 $- V + 1$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

단계 5.2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

단계 5.2.3.2

$\frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| t |)$ 입니다.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

단계 5.2.3.3

간단히 합니다.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

단계 5.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

단계 5.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (| t |)$ 을 간단히 합니다.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

단계 5.3.2.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| t |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

단계 5.3.3

방정식의 양변에 $\ln (t^{2})$ 를 더합니다.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

단계 5.3.4

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

단계 5.3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

단계 5.3.4.2.2

$\ln (| - V + 1 |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

단계 5.3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.3.1.1

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

단계 5.3.4.3.1.2

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

단계 5.3.4.3.1.3

$\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

단계 5.3.4.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (t^{2})$ 을 $- \ln (t^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

단계 5.3.5

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

단계 5.3.6

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

단계 5.3.7

$\ln (| - V + 1 | t^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

단계 5.3.8

$V$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

단계 5.3.9

로그의 정의를 이용하여 $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

단계 5.3.10

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.1

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

단계 5.3.10.2

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ 의 각 항을 $t^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.2.1

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ 의 각 항을 $t^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

단계 5.3.10.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.2.2.1

$t^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

단계 5.3.10.2.2.1.2

$| - V + 1 |$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

단계 5.3.10.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

단계 5.3.10.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

단계 5.3.10.5

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.5.1

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.10.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.5.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.10.5.2.2

$V$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.10.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.10.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.10.5.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ 을 $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ 로 바꿔 씁니다.

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.10.5.3.1.3

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

단계 5.4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

단계 5.4.2

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

단계 6

$V$ 에 $\frac{y}{t}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

단계 7

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

양변에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

단계 7.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

단계 7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

$\frac{1}{t^{2}}$ 와 $C$ 을 묶습니다.

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

단계 7.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

단계 7.2.2.1.3

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.3.1

$- \frac{C}{t^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

단계 7.2.2.1.3.2

$t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

단계 7.2.2.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

단계 7.2.2.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

단계 7.2.2.1.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.4.1

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- C}{t} + t$

단계 7.2.2.1.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{C}{t} + t$

단계 7.2.2.1.4.3

$- \frac{C}{t}$ 와 $t$ 을 다시 정렬합니다.

$y = t - \frac{C}{t}$