미적분 예제

$2 x^{2} y d x = (3 x^{3} + y^{3}) d y$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $(3 x^{3} + y^{3}) d y$ 를 뺍니다.

$2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = 2 x^{2} y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

단계 2.2

$2 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 x^{2} y$ 의 미분은 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

단계 2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

단계 3

$N (x, y) = - (3 x^{3} + y^{3})$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x^{3} + y^{3})]$

단계 3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- (3 x^{3} + y^{3})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $3 x^{3} + y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

단계 3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

단계 3.5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

단계 3.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

단계 3.7

$y^{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{3}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + 0)$

단계 3.8

식을 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$9 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2})$

단계 3.8.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 9 x^{2}$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x^{2}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 9 x^{2}$ 을 대입합니다.

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 9 x^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

단계 5.2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 x^{2}$ 를 대입합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

단계 5.3

$M$ 에 $2 x^{2} y$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$M$ 에 $2 x^{2} y$ 를 대입합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

단계 5.3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$- 9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.2.1.1

$- 9 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

단계 5.3.2.1.2

$- 1 \cdot 2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

단계 5.3.2.1.3

$x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- 9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

단계 5.3.2.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (- 9 - 2)}{2 x^{2} y}$

단계 5.3.2.3

$- 9$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

단계 5.3.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

단계 5.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 11}{2 y}$

단계 5.3.4

$M$ 에 $2 x^{2} y$ 를 대입합니다.

$- \frac{11}{2 y}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$

단계 6

적분 $e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{2 y} d y}$

단계 6.2

$\frac{11}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{11}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

단계 6.3

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} (\ln (| y |) + C)}$

단계 6.4

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} \ln (| y |)} + C$

단계 6.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$- \frac{11}{2} \ln (| y |)$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1.1

$\ln (| y |)$ 와 $\frac{11}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \ln (| y |))} + C$

단계 6.5.1.2

$\frac{11}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{11}{2} \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})} + C$

단계 6.5.2

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1})} + C$

단계 6.5.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1} + C$

단계 6.5.4

${({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.5.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11}{2} \cdot - 1} + C$

단계 6.5.4.2

$\frac{11}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.4.2.1

$\frac{11}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11 \cdot - 1}{2}} + C$

단계 6.5.4.2.2

$11$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 11}{2}} + C$

단계 6.5.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{11}{2}} + C$

단계 6.5.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{11}{2}}} + C$

단계 7

$2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$2 x^{2} y$ 에 $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.2

$2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} y \frac{2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{2}{y^{\frac{11}{2}}}$ 을 묶습니다.

$y \frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.2.3

$y$ 와 $\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y (x^{2} \cdot 2)}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $y^{1}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.4

지수를 더하여 $y^{\frac{11}{2}}$ 에 $y^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.4.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.4.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.4.5.2

$11$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

단계 7.6

$- (3 x^{3} + y^{3})$ 에 $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 7.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- (3 x^{3}) - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 7.8

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- 3 x^{3} - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 7.9

$- 3 x^{3} - y^{3}$ 에 $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 3 x^{3} - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 7.10

$- 3 x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 7.11

$- y^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - (y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 7.12

$- (3 x^{3}) - (y^{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 7.13

$- (3 x^{3} + y^{3})$ 을 $- 1 (3 x^{3} + y^{3})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 1 (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 7.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x$

단계 9

$M (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

$\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \int x^{2} d x$

단계 9.2

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 9.3

답을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 을 $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 9.3.2

간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}} \cdot 3} x^{3} + C$

단계 9.3.2.2

$y^{\frac{9}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f (x, y) = \frac{2}{3 \cdot y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

단계 9.3.2.3

$3$ 에 $y^{\frac{9}{2}}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = \frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

단계 9.3.2.4

$\frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$\frac{2 x^{3}}{3}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}]$ 입니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.2

$\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$ 을 ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = y^{\frac{9}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y^{\frac{9}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.3.3

$u$ 를 모두 $y^{\frac{9}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.4

$n = \frac{9}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.5

${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot - 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.5.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{9 \cdot - 1} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.5.3

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.9.2

$9$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.10

$\frac{9}{2}$ 와 $y^{\frac{7}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.11

$\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ 와 $y^{- 9}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{7}{2}} y^{- 9}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.12

지수를 더하여 $y^{\frac{7}{2}}$ 에 $y^{- 9}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.12.1

$y^{- 9}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 (y^{- 9} y^{\frac{7}{2}})}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.12.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 9$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.12.4

$- 9$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.12.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.12.6.1

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 18 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.12.6.2

$- 18$ 를 $7$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.12.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- \frac{11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- \frac{11}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.14

$\frac{2 x^{3}}{3}$ 에 $\frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 x^{3} \cdot 9}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.15

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{18 x^{3}}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.16

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{18 x^{3}}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.17

$18 x^{3}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.18

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.18.1

$6 y^{\frac{11}{2}}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 (y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.18.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.3.18.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 12.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

단계 13

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.1

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.1.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{3} + 3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

단계 13.1.1.1.2

$- 3 x^{3}$ 를 $3 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

단계 13.1.1.1.3

$0$ 를 $y^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

단계 13.1.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.2.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $y^{3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 3}} = 0$

단계 13.1.1.2.2

지수를 더하여 $y^{\frac{11}{2}}$ 에 $y^{- 3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.2.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3}} = 0$

단계 13.1.1.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

단계 13.1.1.2.2.3

$- 3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

단계 13.1.1.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

단계 13.1.1.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1.2.2.5.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 6}{2}}} = 0$

단계 13.1.1.2.2.5.2

$11$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = 0$

단계 13.1.2

방정식의 양변에서 $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$

단계 14

$- \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

단계 14.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - \int \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

단계 14.4

$y^{\frac{5}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$g (y) = - \int {(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d y$

단계 14.5

${(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$g (y) = - \int y^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d y$

단계 14.5.2

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.2.1

$\frac{5}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$g (y) = - \int y^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d y$

단계 14.5.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = - \int y^{\frac{- 5}{2}} d y$

단계 14.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$g (y) = - \int y^{- \frac{5}{2}} d y$

단계 14.6

멱의 법칙에 의해 $y^{- \frac{5}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$g (y) = - (- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}} + C)$

단계 14.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.7.1.1

$y^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$g (y) = - (- \frac{y^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

단계 14.7.1.2

$y^{- \frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$g (y) = - (- \frac{2 \cdot y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

단계 14.7.1.3

$2$ 에 $y^{- \frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

$g (y) = - (- \frac{2 y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

단계 14.7.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$g (y) = - (- \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C)$

단계 14.7.2

간단히 합니다.

$g (y) = - - \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 14.7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$g (y) = 1 \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 14.7.3.2

$\frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (y) = \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

단계 15

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$